নাইভ সেট থিওরির ধ্বংসস্তূপের ওপর দাঁড়িয়ে আর্নস্ট জারমেলো (১৯০৮) এবং আব্রাহাম ফ্র্যাংকেল (১৯২২) আধুনিক গণিতের সার্বভৌম ভিত্তিমূল প্রতিষ্ঠা করেন: অ্যাক্সিওম অফ চয়েস সমৃদ্ধ জারমেলো-ফ্র্যাংকেল সেট থিওরি ($text{ZFC}$)। জন ফন নিউম্যানের কিউমুলেটিভ হায়ারার্কি $V$-এর মাধ্যমে সমগ্র গণিতকে সাজিয়ে $text{ZFC}$ বিশ্লেষণ, বীজগণিত ও টপোলজিকে সব ধরনের প্যারাডক্স থেকে মুক্ত করে। অথচ এই ব্যবস্থার সবচেয়ে বিতর্কিত রত্ন—অ্যাক্সিওম অফ চয়েস—গণিতে এমন কিছু বিস্ময়ের জন্ম দেয় যার চূড়ান্ত রূপ হলো বিখ্যাত ব্যানাক-তারস্কি প্যারাডক্স।
১. ফন নিউম্যানের কিউমুলেটিভ হায়ারার্কি $V$
আধুনিক গণিতে সংখ্যা, ফাংশন বা জ্যামিতিক স্থান—সবকিছুই মূলত শূন্য সেট ($emptyset$) দিয়ে তৈরি বিমূর্ত সেট ছাড়া আর কিছুই নয়। ফন নিউম্যান এই অসীম মহাবিশ্বকে অর্ডিনাল সংখ্যার ধাপে ধাপে সজ্জিত করেন:
ফন নিউম্যানের মহাবিশ্ব $V$
[
V = bigcup_{alpha in text{Ord}} V_alpha
]
- ভিত্তি স্তর: $V_0 = emptyset$
- পরবর্তী স্তর: $V_{alpha+1} = mathcal{P}(V_alpha)$ (পূর্ববর্তী স্তরের সমস্ত উপসেটের সেট বা পাওয়ার সেট)
- সীমা স্তর: $V_lambda = bigcup_{beta < lambda} V_beta$ (পূর্ববর্তী সমস্ত স্তরের সার্বিক সংযোগ)
এই স্তরবিন্যাস মহাজাগতিক বিস্ময়ে ধাপে ধাপে বিস্তৃত হয়: $V_0$ শূন্য, $V_1$-এ একটি উপাদান, $V_omega$-তে সমস্ত সসীম পূর্ণসংখ্যা, $V_{omega+1}$-এ বাস্তব সংখ্যা $mathbb{R}$, এবং $V_{omega+2}$-এ সমগ্র ফাংশনাল অ্যানালাইসিস স্থান পায়।
২. জেডএফসি-র মূল স্বতঃসিদ্ধসমূহ
কেবলমাত্র একটি সদস্যপদ সম্পর্ক $in$ দিয়ে গঠিত ভাষায় $text{ZFC}$-র নয়টি স্তম্ভ দাঁড়িয়ে আছে:
- এক্সটেনশনালিটি (Extensionality): দুটি সেটের উপাদান অভিন্ন হলে সেট দুটি একই।
- রেগুলারিটি বা ভিত্তি (Regularity): কোনো সেট নিজের ভেতরে নিজে উপাদান হিসেবে থাকতে পারে না ($x in x$ নিষিদ্ধ), যা অনন্তকালের নিম্নমুখী সদস্যপদ চক্র বন্ধ করে।
- সেপারেশন বা বাছাই অ্যাক্সিওম স্কিমা (Separation): কোনো বিদ্যমান সেট $A$ থেকে নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যের উপাদান আলাদা করে নতুন সেট তৈরি করা যায়। পূর্ব-বিদ্যমান সেট ছাড়া শূন্য থেকে সেট তৈরি নিষিদ্ধ হওয়ায় রাসেলের প্যারাডক্স চিরতরে বন্ধ হয়।
- পেয়ারিং ও ইউনিয়ন: দুটি উপাদান নিয়ে জোড় তৈরি এবং একাধিক সেটের সংযোগ সেট গঠন বৈধ।
- রিপ্লেসমেন্ট স্কিমা (Replacement): কোনো সেটের উপাদানগুলোকে কোনো ফাংশন দিয়ে রূপান্তর করলে সেই প্রতিচ্ছবিও একটি বৈধ সেট হয়।
- ইনফিনিটি (Infinity): স্বাভাবিক সংখ্যার অসীম সেটের ($omega cong mathbb{N}$) অস্তিত্বের নিশ্চয়তা।
- পাওয়ার সেট (Power Set): যেকোনো সেটের সমস্ত সম্ভাব্য উপসেটের সেট গঠনযোগ্য।
৩. অ্যাক্সিওম অফ চয়েস (Axiom of Choice – $text{AC}$)
সবচেয়ে আলোচিত ও শক্তিশালী নবম স্তম্ভটি হলো অ্যাক্সিওম অফ চয়েস:
অ্যাক্সিওম অফ চয়েস
অশূন্য ও পরস্পর বিচ্ছিন্ন সেটের যেকোনো পরিবার থেকে একটি করে উপাদান নির্বাচন করে একটি নতুন সেট তৈরি করা সর্বদা সম্ভব। অর্থাৎ অশূন্য সেটের যেকোনো কার্তেসীয় গুণফল কখনো শূন্য হতে পারে না।
অন্যান্য অ্যাক্সিওমের মতো এটি কোনো নির্দিষ্ট নিয়ম বা সূত্র তৈরি করে দেয় না, বরং নিঃশব্দে কেবল একটি পছন্দকারী ফাংশনের অস্তিত্বের নিশ্চয়তা দেয়।
৪. অ্যাক্সিওম অফ চয়েসের সমতুল্য উপপাদ্য
গণিতের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বহু উপপাদ্য এই অ্যাক্সিওম অফ চয়েসের সমার্থক:
- জারমেলোর ওয়েল-অর্ডারিং উপপাদ্য: যেকোনো সেটকে এমনভাবে সাজানো যায় যাতে তার প্রতিটি অশূন্য উপসেটের একটি ক্ষুদ্রতম উপাদান থাকে।
- জর্নের লেমা (Zorn’s Lemma): আংশিক ক্রমানুসারে সাজানো সেটের ম্যাক্সিমাল উপাদানের অস্তিত্ব।
- ভেক্টর স্পেসের বেসিস উপপাদ্য: যেকোনো অসীম মাত্রার ভেক্টর স্পেসের (যেমন হিলবার্ট স্পেস) একটি হ্যামেল বেসিস রয়েছে।
- টাইকোনফের উপপাদ্য: কম্প্যাক্ট টপোলজিক্যাল স্পেসের যেকোনো গুণফল সর্বদা কম্প্যাক্ট থাকে।
৫. ব্যানাক-তারস্কি প্যারাডক্স (১৯২৪)
অ্যাক্সিওম অফ চয়েসের অ-গঠনমূলক ক্ষমতার সবচেয়ে শ্বাসরুদ্ধকর ফলাফল হলো ব্যানাক-তারস্কি প্যারাডক্স:
ব্যানাক-তারস্কি প্যারাডক্স
ত্রিমাত্রিক জগতের একটি নিরেট গোলককে মাত্র পাঁচটি খণ্ডে বিভক্ত করে, সেগুলোকে কেবল সাধারণ ঘূর্ণন ও স্থানান্তরের মাধ্যমে জোড়া লাগিয়ে আগের গোলকের সমান অবিকল দুটি নিরেট গোলক তৈরি করা সম্ভব!
এটি কোনো ভৌতিক ভেল্কিবাজি নয়, বরং মেজার থিওরির চরম পরাকাষ্ঠা। অ্যাক্সিওম অফ চয়েস দিয়ে তৈরি ওই পাঁচটি খণ্ড হলো পরিমাপহীন সেট (Non-measurable sets), যাদের কোনো বাস্তব আয়তন বা ঘনত্ব নেই। আয়তনের নিয়ম ভেঙে গেলেও গণিতের যৌক্তিক ভারসাম্যে তা সম্পূর্ণ অটুট থাকে।
