১৮৭২ সালে ফেলিক্স ক্লাইন তার বিখ্যাত এরলাঙ্গেন প্রোগ্রাম (Erlangen Program)-এ প্রস্তাব করেছিলেন যে জ্যামিতি কেবল দূরত্বের পাঠ নয়, বরং বিভিন্ন রূপান্তর গ্রুপের অধীনে অপরিবর্তনীয় বৈশিষ্ট্যসমূহের অনুসন্ধান। আধুনিক রিপ্রেজেন্টেশন তত্ত্বে এই অন্তর্দৃষ্টিই হলো কনভোলিউশনাল নিউরাল নেটওয়ার্ক (CNN)-এর গাণিতিক ভিত্তি। ত্রিমাত্রিক বা দ্বিমাত্রিক স্থানের স্থানান্তর প্রতিসাম্য গ্রুপকে $(mathbb{R}^2, +)$ কাজে লাগিয়ে কনভোলিউশন সমতুল্যতা বা ইকুইভ্যারিয়েন্স (Equivariance) প্রতিষ্ঠা করে, যা প্যারামিটার জটিলতাকে সম্পূর্ণ সংযুক্ত স্তরের $O(D^2)$ থেকে ফিল্টার আকারের $O(K^2)$-এ সংকুচিত করে।
১. গ্রুপ ইকুইভ্যারিয়েন্সের আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা
ধরি একটি রূপান্তর গ্রুপ $G$ ইনপুট স্পেসে $T_g$ এবং আউটপুট স্পেসে $T_g’$ হিসেবে ক্রিয়া করে। একটি ফাংশন $f$-কে $G$-Equivariant বলা হবে যদি:
$$f(T_g x) = T_g’ (f(x)), quad forall x in mathcal{X}, ; forall g in G$$
অর্থাৎ ইনপুট স্থানান্তরিত হলে আউটপুটও সমভাবে স্থানান্তরিত হবে। গভীর দৃষ্টি নেটওয়ার্কে প্রাথমিক স্তরগুলো স্থানিক সমতুল্যতা (Equivariance) বজায় রাখে যাতে বস্তুর সুনির্দিষ্ট অবস্থান শনাক্ত করা যায়, আর শীর্ষ স্তরগুলো ইনভ্যারিয়েন্স (Invariance) অর্জন করে যাতে অবস্থান নির্বিশেষে বস্তুর পরিচয় নিশ্চিত করা যায়।
২. স্থানান্তর সমতুল্যতা ও কনভোলিউশন উপপাদ্য
অবিচ্ছিন্ন স্থানান্তর অপারেটর $T_t f(x) = f(x – t)$-এর জন্য কনভোলিউশন ইন্টিগ্রাল বিবেচনা করি:
$$(f * w)(x) = int_{mathbb{R}^d} f(y) w(x – y) dy$$
চলক প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে দেখানো যায় যে $(T_t f * w)(x) = T_t (f * w)(x)$। লিনিয়ার সিস্টেম তত্ত্বের মৌলিক উপপাদ্য অনুযায়ী: যেকোনো লিনিয়ার অপারেটর যা স্থানান্তরের সাথে সমতুল্য (Equivariant), তা অবশ্যই একটি কনভোলিউশন অপারেটর হতে বাধ্য। সুতরাং ওজন অংশীদারিত্ব (Weight Sharing) কোনো আন্দাজি কৌশল নয়, এটি স্থানান্তর প্রতিসাম্যের অনিবার্য গাণিতিক পরিণতি।
৩. গ্রুপ কনভোলিউশনাল নেটওয়ার্ক (G-CNN)
২০১৬ সালে টাকো কোহেন এবং ম্যাক্স ওয়েলিং কনভোলিউশনকে ঘূর্ণন ও প্রতিফলন গ্রুপে ($SE(2)$) প্রসারিত করেন। হার মেজার (Haar Measure) $dg$-এর মাধ্যমে গ্রুপ কনভোলিউশন সংজ্ঞায়িত করে G-CNN আবর্তনের বিরুদ্ধেও নিখুঁত সমতুল্যতা অর্জন করে।
৪. ফুরিয়ার রূপান্তর ও দ্বৈততা
কনভোলিউশন উপপাদ্য প্রমাণ করে যে স্থানিক ডোমেনের কনভোলিউশন হলো ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনের গুণফল: $mathcal{F}{f * w} = hat{f} cdot hat{w}$। এই গাণিতিক দ্বৈততা প্রকাশ করে যে প্রতিটি কনভোলিউশন লেয়ার আসলে একটি ফিল্টার ব্যাংক হিসেবে নির্দিষ্ট তরঙ্গ ফ্রিকোয়েন্সিকে পৃথক ও প্রক্রিয়াজাত করে।
