২০২১ সালে মাইকেল ব্রনস্টাইন, জোয়ান ব্রুনা, টাকো কোহেন এবং পেটার ভেলিকোভিচ প্রকাশ করেন তাদের ইতিহাসখ্যাত গবেষণা “Geometric Deep Learning: Grids, Groups, Graphs, Geodesics, and Gauges”। ফেলিক্স ক্লাইনের এরলাঙ্গেন প্রোগ্রামের অনুপ্রেরণায় তারা প্রমাণ করেন: সিএনএন, আরএনএন, ট্রান্সফরমার এবং জিএনএন কোনো বিচ্ছিন্ন আবিষ্কার নয়; এগুলো সবই প্রতিসাম্য গ্রুপ ও জ্যামিতিক অপরিবর্তনীয়তার (Symmetry & Invariance) সরাসরি গাণিতিক পরিণতি। বাঁকানো রিম্যানিয়ান তল এবং গোলকের ($mathbb{S}^2$) ওপর স্ফেরিক্যাল হারমোনিক্স ও গেজ কানেকশন প্রয়োগের মাধ্যমে জ্যামিতিক ডিপ লার্নিং নিখুঁত ত্রিমাত্রিক ঘূর্ণন সমতুল্যতা ($SO(3)$) প্রতিষ্ঠা করে।
১. জ্যামিতিক ডিপ লার্নিংয়ের পাঁচটি ভিত্তি
যেকোনো নিউরাল আর্কিটেকচার একটি নির্দিষ্ট ডোমেইনের প্রতিসাম্য মেনে চলে:
- গ্রিড (Grids): ইউক্লিডীয় তল ও স্থানান্তর প্রতিসাম্য $implies$ সিএনএন।
- গ্রুপ (Groups): হোমোজেনিয়াস স্পেস $implies$ গ্রুপ-ইকুইভ্যারিয়েন্ট সিএনএন।
- গ্রাফ (Graphs): টপোলজিক্যাল পারমিউটেশন প্রতিসাম্য $implies$ জিএনএন।
- জিওডেসিক (Geodesics): রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডের অন্তর্নিহিত দূরত্ব $implies$ ম্যানিফোল্ড নেটওয়ার্ক।
- গেজ (Gauges): ম্যানিফোল্ডের স্থানীয় কোঅর্ডিনেট ফ্রেম রূপান্তর $implies$ গেজ-ইকুইভ্যারিয়েন্ট নেটওয়ার্ক।
২. স্ফেরিক্যাল কনভোলিউশন ও ত্রিমাত্রিক ঘূর্ণন গ্রুপ $SO(3)$
জলবায়ু বিজ্ঞান বা মহাকাশবিদ্যায় উপাত্ত থাকে গোলকের উপরিভাগে ($mathbb{S}^2$)। গোলককে সমতলে মেলে ধরলে মেরু অঞ্চলে বিকৃতি ঘটে। গোলকের স্বাভাবিক ঘূর্ণন প্রতিসাম্য গ্রুপ হলো স্পেশাল অর্থোগোনাল গ্রুপ $SO(3)$। টাকো কোহেন উদ্ভাবিত স্ফেরিক্যাল সিএনএন সরাসরি গোলক তলে কনভোলিউশন সম্পন্ন করে ত্রিমাত্রিক ঘূর্ণনের নিখুঁত সমতুল্যতা রক্ষা করে।
৩. হারমোনিক অ্যানালাইসিস ও উইগনার ডি-ম্যাট্রিক্স
গোলকের ওপর কনভোলিউশন গণনায় সাধারণ ফুরিয়ার রূপান্তরের বদলে ব্যবহৃত হয় স্ফেরিক্যাল হারমোনিক্স ($Y_l^m$)। পিটার-ওয়েল উপপাদ্য অনুসারে যেকোনো গোলকীয় ফাংশনকে অর্থোগোনাল হারমোনিক্সে বিভক্ত করা যায়। ঘূর্ণনের অধীনে এই তরঙ্গগুলো উইগনার ডি-ম্যাট্রিক্স (Wigner D-matrices) দ্বারা রূপান্তরিত হয়, যা ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে দ্রুত কনভোলিউশন সম্ভব করে।
৪. গেজ সিমেট্রি ও ফাইবার বান্ডল
জটিল প্রোটিন তলের মতো যেকোনো বাঁকানো ম্যানিফোল্ডে কোনো বৈশ্বিক দিক বা কোঅর্ডিনেট সিস্টেম থাকে না। গেজ-ইকুইভ্যারিয়েন্ট সিএনএন স্থানীয় স্পর্শক তলগুলোতে ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতির লেভি-চিভিতা কানেকশন (Levi-Civita connection) প্রয়োগ করে, যা স্থানীয় কোঅর্ডিনেটের যেকোনো খেয়ালখুশিমতো পরিবর্তনের মুখেও মডেলের আউটপুটকে সম্পূর্ণ অপরিবর্তিত ও নির্ভুল রাখে।
