১৯২৮ সালে হাঙ্গেরীয়-আমেরিকান বহুবিদ্যাবিশারদ জন ভন নিউম্যান গ্যোটিঙেন ম্যাথমেটিক্যাল সোসাইটিতে এমন একটি গবেষণাপত্র উপস্থাপন করেন যা সমাজবিজ্ঞানের গতিপথ চিরতরে বদলে দেয়: Zur Theorie der Gesellschaftsspiele (“কৌশলগত খেলার তত্ত্ব”)। ভন নিউম্যানের পূর্বে মানব সংঘাত, যুদ্ধ এবং অর্থনৈতিক বাণিজ্য কেবল বাগ্মীতা, নৈতিক দর্শন কিংবা ইতিহাসের আকস্মিক ঘটনার দৃষ্টিকোণ থেকে আলোচিত হতো। ভন নিউম্যান প্রথম অনুধাবন করেন যে মানুষের কৌশলগত মিথস্ক্রিয়াকে আইজ্যাক নিউটনের চিরায়ত বলবিদ্যার মতোই নিখুঁত গাণিতিক শৃঙ্খলায় সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব: এটি এমন একটি অপ্টিমাইজেশন সমস্যা যেখানে প্রতিটি সিদ্ধান্তের ফলাফল প্রতিপক্ষের সিদ্ধান্তের ওপর প্রত্যক্ষভাবে নির্ভরশীল।
ইউটিলিটির স্বতঃসিদ্ধ রূপরেখা
অনিশ্চয়তার মুখে যৌক্তিক সিদ্ধান্ত পরিমাপের জন্য প্রিন্সটনের ইনস্টিটিউট ফর অ্যাডভান্সড স্টাডিতে ভন নিউম্যান অস্ট্রীয় অর্থনীতিবিদ অস্কার মরগেনস্টার্নের সাথে যৌথভাবে কাজ শুরু করেন। ১৯৪৪ সালে প্রকাশিত তাদের অমর গ্রন্থ Theory of Games and Economic Behavior-এ তাঁরা আধুনিক এক্সপেক্টেড ইউটিলিটি থিওরির চারটি ভিত্তি উপস্থাপন করেন: পূর্ণাঙ্গতা, ট্রানজিটিভিটি, অবিচ্ছিন্নতা এবং স্বাধীনতা। কোনো এজেন্টের পছন্দ যদি এই শর্তগুলো পূরণ করে, তবে একটি রিয়েল-ভ্যালুড ইউটিলিটি ফাংশন $u: X to mathbb{R}$ বিদ্যমান থাকে যার মাধ্যমে প্রত্যাশিত মান সর্বোচ্চ করা যায়:
$$mathbb{E}[u(L)] = sum_{x in X} p(x) u(x)$$
ইউটিলিটি যখন একটি স্কেলার রাশিতে রূপান্তরিত হলো, তখন কৌশলগত দ্বন্দ্বের আদিমতম রূপ বিশ্লেষণের ভিত্তি রচিত হলো: শূন্য-সমষ্টি দ্বৈরথ (Zero-Sum Game)।
শূন্য-সমষ্টি খেলা ও মিনিম্যাক্স উপপাদ্য
একটি দুই-খেলোয়াড়ের শূন্য-সমষ্টি খেলা পে-অফ ম্যাট্রিক্স $A in mathbb{R}^{n times m}$ দ্বারা নির্ধারিত হয়। ১ম খেলোয়াড় $i$ ক্রিয়া নির্বাচন করলে এবং ২য় খেলোয়াড় $j$ ক্রিয়া নির্বাচন করলে, ১ম খেলোয়াড় পায় $a_{ij}$ এবং ২য় খেলোয়াড় হারায় ঠিক $a_{ij}$ (পে-অফ $-a_{ij}$)। সমাজের মোট সম্পদ এখানে ধ্রুবক; একজনের লাভ হুবহু অন্যের ক্ষতির সমান।
যদি খেলোয়াড়রা কেবল একটি নির্দিষ্ট ক্রিয়া নির্বাচনে বাধ্য থাকে, তবে খেলায় সাম্যাবস্থা বা স্যাডল পয়েন্ট কেবল তখনই থাকে যখন কোনো এন্ট্রি তার সারির সর্বনিম্ন এবং কলামের সর্বোচ্চ হয়:
$$max_{i} min_{j} a_{ij} = min_{j} max_{i} a_{ij} = v^*$$
কিন্তু বাস্তব জীবনে (যেমন পাথর-কাগজ-কাঁচি খেলায়) কোনো পিওর স্যাডল পয়েন্ট থাকে না। যেকোনো নির্ধারিত কৌশল প্রতিপক্ষ অনুমান করে পরাস্ত করতে পারে। ভন নিউম্যানের যুগান্তকারী অবদান ছিল সম্ভাব্যতা সিমপ্লেক্স $Delta_n$ ও $Delta_m$-এ মিশ্র কৌশল (Mixed Strategy) প্রবর্তন করা:
$$max_{x in Delta_n} min_{y in Delta_m} x^T A y = min_{y in Delta_m} max_{x in Delta_n} x^T A y = v^*$$
এই ধ্রুবক $v^*$ হলো খেলার সামগ্রিক মূল্য (Value of the Game)। ১ম খেলোয়াড় নিশ্চিত করতে পারে যে সে অন্তত $v^*$ পাবে, আর ২য় খেলোয়াড় ১ম খেলোয়াড়কে অনধিক $v^*$-এ আটকে রাখতে পারে।
লিনিয়ার প্রোগ্রামিং ডুয়ালিটি ও হাইপারপ্লেন সেপারেশন
ভন নিউম্যান প্রথমে ব্রাউয়ারের ফিক্সড-পয়েন্ট উপপাদ্য দিয়ে এটি প্রমাণ করলেও ১৯৪৭ সালে জর্জ ডানটজিগের সাথে আলোচনার পর দেখা যায় যে মিনিম্যাক্স উপপাদ্য এবং লিনিয়ার প্রোগ্রামিংয়ের ডুয়ালিটি উপপাদ্য অভিন্ন। ১ম খেলোয়াড়ের সর্বোত্তম মিশ্র কৌশল খোঁজা হলো প্রাইমাল লিনিয়ার প্রোগ্রাম সমাধান করা, আর ২য় খেলোয়াড়ের কৌশল হলো তার ডুয়াল প্রোগ্রাম সমাধান করা। স্ট্রং ডুয়ালিটির কারণে তাদের ফলাফল $v^* = u^*$ সমান হয়।
মিনিম্যাক্স উপপাদ্য প্রমাণ করে যে প্রতিপক্ষের মনস্তাত্ত্বিক অনুমান করার প্রয়োজন নেই। মিনিম্যাক্স মিশ্র কৌশল প্রয়োগের মাধ্যমে একজন খেলোয়াড় এমন একটি গাণিতিক দুর্গ তৈরি করে যেখানে প্রতিপক্ষ যেকোনো পাল্টা চাল দিলেও সমপরিমাণ সুবিধা অর্জনে অক্ষম হয়।
