আলো ও পদার্থের মিথস্ক্রিয়ার সবচেয়ে মৌলিক একক হলো একটি একক দ্বি-স্তরীয় পরমাণু এবং একটি একক কোয়ান্টায়িত ফোটনের মধ্যে সুসংগত শক্তি বিনিময়। ১৯৬৩ সালে এডউইন জেইনস এবং ফ্রেড কামিংস কর্তৃক প্রণীত জেইনস-কামিংস মডেল (Jaynes-Cummings Model) হলো ক্যাভিটি কোয়ান্টাম ইলেক্ট্রোডায়নামিক্সের (Cavity QED) ধ্রুপদী গাণিতিক ভিত্তি। ক্যাভিটির ভেতর শক্তিশালী কাপলিং অবস্থায় পরমাণুর শক্তিস্তর এবং ফোটনের অবস্থা মিলেমিশে একাকার হয়ে জন্ম দেয় ড্রেসড স্টেট (Dressed States) এবং প্রদর্শন করে বিপরীতমুখী ভ্যাকুয়াম রাবি দোলন (Vacuum Rabi Oscillations)।
১. ডাইপোল মিথস্ক্রিয়া ও রোটেটিং ওয়েভ অ্যাপ্রোক্সিমেশন (RWA)
(omega_a) ট্রানজিশন কম্পাঙ্কের একটি দ্বি-স্তরীয় পরমাণু (গ্রাউন্ড স্টেট (|g
angle) ও উত্তেজিত স্টেট (|e
angle)) যখন (omega_c) কম্পাঙ্কের একটি অপটিক্যাল ক্যাভিটি মোডের সাথে ডাইপোল বলের মাধ্যমে যুক্ত হয় ((hat{V} = -hat{mathbf{d}} cdot hat{mathbf{E}})), তখন মিথস্ক্রিয়া হ্যামিল্টোনিয়ানে চারটি পদ দেখা যায়:
[
hat{V} = hbar g (hat{sigma}_+ + hat{sigma}_-) (hat{a} + hat{a}^dagger)
]
এখানে (g) হলো একক-ফোটন কাপলিং ধ্রুবক। রেজোন্যান্সের কাছাকাছি ((omega_a approx omega_c)) শক্তি সংরক্ষণকারী পদগুলো ((hat{a}hat{sigma}_+) ও (hat{a}^daggerhat{sigma}_-)) খুব ধীরগতিতে আবর্তিত হয়, অথচ কাউন্টার-রোটেটিং পদগুলো ((hat{a}hat{sigma}_-) ও (hat{a}^daggerhat{sigma}_+)) অতিদ্রুত ((pm ২omega)) কম্পিত হয়ে গড়ে শূন্যে পরিণত হয়। এই দ্রুত কম্পনশীল পদগুলোকে বাদ দেওয়াকে বলা হয় রোটেটিং ওয়েভ অ্যাপ্রোক্সিমেশন (RWA)। এর ফলে পাওয়া যায় বিখ্যাত জেইনস-কামিংস হ্যামিল্টোনিয়ান:
[
hat{H}_{ ext{JC}} = hbar omega_c hat{a}^dagger hat{a} + rac{1}{2}hbar omega_a hat{sigma}_z + hbar g (hat{a} hat{sigma}_+ + hat{a}^dagger hat{sigma}_-)
]
২. মোট উত্তেজনা সংরক্ষণ ও ব্লক ডায়াগোনালাইজেশন
জেইনস-কামিংস মডেলে মোট কোয়ান্টাম উত্তেজনা সংখ্যা (hat{N} = hat{a}^dagger hat{a} + hat{sigma}_+ hat{sigma}_-) একটি সংরক্ষিত রাশি (([hat{H}_{ ext{JC}}, hat{N}] = ০))। ফলে অসীম মাত্রার হ্যামিল্টোনিয়ান মেট্রিক্সটি ভেঙে ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র স্বাধীন (২ imes ২) সাবস্পেসে বিভক্ত হয়, যার ভিত্তি হলো ({|e, n
angle, |g, n+1
angle})।
(n)-তম সাবস্পেসের মেট্রিক্স রূপ দাঁড়ায়:
[
hat{H}_n = hbar begin{pmatrix} (n + rac{1}{2})omega_c + rac{Delta}{2} & gsqrt{n+1} gsqrt{n+1} & (n + rac{1}{2})omega_c – rac{Delta}{2} nd{pmatrix}
]
যেখানে (Delta = omega_a – omega_c) হলো ডিটিউনিং।
৩. ড্রেসড স্টেট ও ভ্যাকুয়াম রাবি স্প্লিটিং
মেট্রিক্সটি ডায়াগোনালাইজ করলে পরমাণু ও ফোটনের মিশ্রিত কোয়ান্টাম অবস্থা বা ড্রেসড স্টেট (Dressed States) পাওয়া যায়:
[
|+, n
angle = cos heta_n |e, n
angle + sin heta_n |g, n+1
angle
]
[
|-, n
angle = -sin heta_n |e, n
angle + cos heta_n |g, n+1
angle
]
নিখুঁত রেজোন্যান্সে ((Delta = ০)) এবং শূন্য ফোটন স্তরে ((n = ০)), দুটি অবস্থা বিভক্ত হয়ে যায় এবং তাদের মধ্যে শক্তির ব্যবধান দাঁড়ায় (Delta E = ২hbar g)। ক্যাভিটির ভেতর পরমাণু কোনো ফোটন ছাড়াই কেবল শূন্যস্থানের সাথে মিথস্ক্রিয়া করে নিজের শক্তিস্তরকে দ্বিধাবিভক্ত করে ফেলে—একে বলা হয় ভ্যাকুয়াম রাবি স্প্লিটিং (Vacuum Rabi Splitting)।
৪. ভ্যাকুয়াম রাবি দোলন ও শক্তিশালী কাপলিং
একটি উত্তেজিত পরমাণুকে সম্পূর্ণ অন্ধকার শূন্য ক্যাভিটিতে প্রবেশ করালে ((t=০) তে (|e, ০
angle)), সিস্টেমের কোয়ান্টাম অবস্থা সময়ের সাথে দোলায়িত হয়:
[
|psi(t)
angle = cos(gt) |e, 0
angle – i sin(gt) |g, 1
angle
]
পরমাণুর উত্তেজিত থাকার সম্ভাবনা পর্যায়ক্রমে উঠানামা করে:
[
P_e(t) = cos^2(gt) = rac{1 + cos(2gt)}{2}
]
পরমাণু একটি ফোটন ত্যাগ করে ক্যাভিটিকে দেয়, পরমুহূর্তে ক্যাভিটি থেকে ফোটনটি পুনরায় শোষণ করে নিজেই উত্তেজিত হয়। এই সুসংগত দোলন পর্যবেক্ষণ করতে হলে সিস্টেমটিকে শক্তিশালী কাপলিং রেসিমে (Strong Coupling) থাকতে হয়, যেখানে মিথস্ক্রিয়ার হার (g) ক্যাভিটির ফোটন ক্ষয় ((kappa)) এবং পরমাণুর অপচয় হারের ((gamma)) চেয়ে বহুগুণ শক্তিশালী হতে হয় ((g gg kappa, gamma))। সুপারকন্ডাক্টিং সার্কিট কিউইডিতে এই নীতিতেই আধুনিক কোয়ান্টাম কম্পিউটারের কিউবিট নিয়ন্ত্রিত হয়।
