চিরায়ত তড়িৎচুম্বকীয় বলবিদ্যায় আলোকে ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণ দ্বারা পরিচালিত তড়িৎ ও চৌম্বক ভেক্টর ক্ষেত্রের অবিচ্ছিন্ন তরঙ্গ হিসেবে বিবেচনা করা হয়। কিন্তু আণুবীক্ষণিক কোয়ান্টাম জগতে এই অবিচ্ছিন্ন ধারণা ভেঙে পড়ে এবং আবির্ভূত হয় শক্তির অবিভাজ্য একক: ফোটন (Photon)। দ্বিতীয় কোয়ান্টায়নের মাধ্যমে চিরায়ত তরঙ্গের বিস্তারকে নন-কমুটেটিভ কোয়ান্টাম অপারেটরে উন্নীত করা হয়, যা উন্মোচন করে শূন্যস্থান বা ভ্যাকুয়ামের অন্তর্নিহিত শূন্যবিন্দু শক্তি এবং বিচ্ছিন্ন ফক স্টেট (Fock States)-এর হিলবার্ট স্পেস।
১. তড়িৎচুম্বকীয় মোডের ক্যানোনিকাল কোয়ান্টায়ন
(V) আয়তনের একটি বদ্ধ শূন্য অপটিক্যাল ক্যাভিটি বিবেচনা করা যাক। কুলম্ব গেজে ((
abla cdot mathbf{A} = ০)) ভেক্টর বিভব (mathbf{A}(mathbf{r}, t)) তরঙ্গ সমীকরণ মেনে চলে:
[
abla^2 mathbf{A} – rac{1}{c^2}rac{partial^2 mathbf{A}}{partial t^2} = 0
]
ভেক্টর বিভবকে ফুরিয়ার স্থানিক মোডে বিস্তৃত করা যায়:
[
mathbf{A}(mathbf{r}, t) = sum_{mathbf{k}, s} sqrt{rac{hbar}{2 psilon_0 omega_{mathbf{k}} V}} left( alpha_{mathbf{k}, s}(t) boldsymbol{psilon}_{mathbf{k}, s} e^{i mathbf{k} cdot mathbf{r}} + alpha_{mathbf{k}, s}^*(t) boldsymbol{psilon}_{mathbf{k}, s}^* e^{-i mathbf{k} cdot mathbf{r}}
ight)
]
কোয়ান্টায়নের নিয়মে চিরায়ত জটিল বিস্তার (alpha) এবং (alpha^*) কে যথাক্রমে ফোটন ধ্বংসকারী (Annihilation, (hat{a})) এবং সৃষ্টিকারী (Creation, (hat{a}^dagger)) অপারেটরে রূপান্তর করা হয়, যা বোসোনিক কমুটেশন সম্পর্ক মেনে চলে:
[
[hat{a}_{mathbf{k}, s}, hat{a}_{mathbf{k}’, s’}^dagger] = delta_{mathbf{k}, mathbf{k}’} delta_{s, s’}, qquad [hat{a}_{mathbf{k}, s}, hat{a}_{mathbf{k}’, s’}] = 0
]
২. কোয়ান্টায়িত ক্ষেত্র অপারেটর ও হ্যামিল্টোনিয়ান
তড়িৎ ও চৌম্বক ক্ষেত্র অপারেটর হিসেবে আত্মপ্রকাশ করে:
[
hat{mathbf{E}}(mathbf{r}, t) = i sum_{mathbf{k}, s} sqrt{rac{hbar omega_{mathbf{k}}}{2 psilon_0 V}} boldsymbol{psilon}_{mathbf{k}, s} left( hat{a}_{mathbf{k}, s} e^{i(mathbf{k} cdot mathbf{r} – omega_{mathbf{k}} t)} – hat{a}_{mathbf{k}, s}^dagger e^{-i(mathbf{k} cdot mathbf{r} – omega_{mathbf{k}} t)}
ight)
]
ক্যাভিটির সমগ্র আয়তনে শক্তির ঘনত্ব সমাকলন করলে পাওয়া যায় ফিল্ড হ্যামিল্টোনিয়ান অপারেটর:
[
hat{H} = sum_{mathbf{k}, s} hbar omega_{mathbf{k}} left( hat{a}_{mathbf{k}, s}^dagger hat{a}_{mathbf{k}, s} + rac{1}{2}
ight)
]
অর্থাৎ তড়িৎ-চুম্বকীয় ক্ষেত্রের প্রতিটি স্বাধীন মোড গাণিতিকভাবে (omega_{mathbf{k}}) কম্পাঙ্কের একটি স্বাধীন কোয়ান্টাম সরল ছন্দিত স্পন্দকের (Quantum Harmonic Oscillator) মতো আচরণ করে।
৩. ফক সংখ্যা অবস্থা ও ল্যাডার বীজগণিত
(hat{n} = hat{a}^dagger hat{a}) হলো হারমিশিয়ান ফোটন সংখ্যা অপারেটর। এর আইগেনস্টেটগুলো হলো অর্থোনরমাল ফক ভিত্তি (Fock Basis) ({|n
angle}):
[
hat{n} |n
angle = n |n
angle, qquad langle m | n
angle = delta_{mn}
]
ল্যাডার অপারেটরগুলো একটি ফোটন বৃদ্ধি বা হ্রাস করে:
[
hat{a} |n
angle = sqrt{n} |n – 1
angle, qquad hat{a}^dagger |n
angle = sqrt{n + 1} |n + 1
angle
]
ভ্যাকুয়াম গ্রাউন্ড স্টেট (|0
angle)-এর ওপর সৃষ্টি অপারেটর বারবার প্রয়োগ করে (n)-ফোটন অবস্থা তৈরি করা যায়:
[
|n
angle = rac{(hat{a}^dagger)^n}{sqrt{n!}} |0
angle
]
ফক স্টেটে ফোটন সংখ্যার কোনো অনিশ্চয়তা থাকে না ((Delta n = ০))। অনিশ্চয়তা নীতি ((Delta n Delta phi ge ১/২)) অনুসারে এর ফলে অপটিক্যাল ফেজ সম্পূর্ণ অনিশ্চিত ও অভিন্নভাবে ছড়িয়ে পড়ে।
৪. কোয়ান্টাম ভ্যাকুয়াম ও শূন্যবিন্দু শক্তি
শূন্য ফোটনবিশিষ্ট ভ্যাকুয়াম অবস্থা (|0
angle)-এ কোনো ফোটন না থাকলেও এর অভ্যন্তরীণ শক্তি শূন্য হয় না:
[
langle 0 | hat{H} | 0
angle = sum_{mathbf{k}, s} rac{1}{2}hbar omega_{mathbf{k}}
]
ভ্যাকুয়ামে গড় তড়িৎ ক্ষেত্র শূন্য ((langle 0 | hat{mathbf{E}} | 0
angle = ০)) হলেও এর ভ্যারিয়েন্স বা ফ্লাকচুয়েশন অশূন্য:
[
langle 0 | hat{mathbf{E}}^2 | 0
angle = sum_{mathbf{k}} rac{hbar omega_{mathbf{k}}}{2 psilon_0 V}
e 0
]
এই ভ্যাকুয়াম ফ্লাকচুয়েশনই উত্তেজিত পরমাণুর স্বতঃস্ফূর্ত নিঃসরণ ঘটায়, হাইড্রোজেন পরমাণুতে ল্যাম্ব শিফট তৈরি করে এবং ক্যাসিমির বলের (Casimir Effect) মাধ্যমে দুটি সমান্তরাল ধাতব পাতের মধ্যে বাস্তব আকর্ষণ বল তৈরি করে।
