সেমিকন্ডাক্টরের তড়িৎ পরিবাহিতা মূলত মুক্ত চার্জ বাহকের প্রাপ্যতার ওপর নির্ভরশীল। পাউলির বর্জন নীতি ও ফার্মি-ডিরাক পরিসংখ্যান অনুসারে কন্ডাকশন ব্যান্ডে ইলেকট্রন এবং ভ্যালেন্স ব্যান্ডে হোলের বিন্যাস নিখুঁতভাবে বিশ্লেষণ করে অন্তর্নিহিত বাহক ঘনত্ব (Intrinsic Carrier Concentration) ও ভরক্রিয়া সূত্র প্রতিপাদন করা হয়।

১. ত্রিমাত্রিক ব্যান্ডে স্টেট ডেনসিটি (DOS)

কন্ডাকশন ব্যান্ডের তলদেশ (E_c) এবং ভ্যালেন্স ব্যান্ডের শীর্ষ (E_v)-এর কাছাকাছি এনার্জি ব্যান্ডের বক্রতাকে দ্বিঘাত ধরে একক আয়তনে স্টেট ডেনসিটি নির্ণয় করা হয়:

[
g_c(E) = rac{1}{2pi^2} left( rac{2m_{de}^*}{hbar^2}
ight)^{3/2} sqrt{E – E_c}, quad (E ge E_c)
]

[
g_v(E) = rac{1}{2pi^2} left( rac{2m_{dh}^*}{hbar^2}
ight)^{3/2} sqrt{E_v – E}, quad (E le E_v)
]

২. ফার্মি-ডিরাক পরিসংখ্যান ও ক্যারিয়ার ইন্টিগ্রাল

(T) তাপমাত্রায় (E) শক্তি স্তরে একটি ইলেকট্রন থাকার সম্ভাব্যতা ফার্মি-ডিরাক বিন্যাস দ্বারা নির্ধারিত:

[
f(E) = rac{1}{1 + e^{(E – E_F)/k_B T}}
]

যেখানে (E_F) হলো ফার্মি স্তর। কন্ডাকশন ব্যান্ডে মোট মুক্ত ইলেকট্রন ঘনত্ব (n) এবং ভ্যালেন্স ব্যান্ডে হোল ঘনত্ব (p):

[
n = int_{E_c}^infty g_c(E) f(E) , dE = N_c mathcal{F}_{1/2}left( rac{E_F – E_c}{k_B T}
ight)
]

[
p = int_{-infty}^{E_v} g_v(E) [1 – f(E)] , dE = N_v mathcal{F}_{1/2}left( rac{E_v – E_F}{k_B T}
ight)
]

৩. নন-ডিজেনারেট ম্যাক্সওয়েল-বোল্টজম্যান অনুমান

যখন ফার্মি স্তর ব্যান্ড সীমানা থেকে অন্তত (3 k_B T) দূরে থাকে ((E_c – E_F ge 3 k_B T)), তখন সূচকীয় পদ প্রভাবশালী হয় এবং ফার্মি-ডিরাক সমীকরণটি ম্যাক্সওয়েল-বোল্টজম্যান আকারে রূপ নেয়:

[
n = N_c e^{-(E_c – E_F)/k_B T}, quad p = N_v e^{-(E_F – E_v)/k_B T}
]

৪. ইন্ট্রিনসিক ক্যারিয়ার ঘনত্ব ও ভরক্রিয়া সূত্র (Mass-Action Law)

একটি নিখুঁত বিশুদ্ধ সেমিকন্ডাক্টরে প্রতিটি উত্তেজিত ইলেকট্রন একটি করে হোল তৈরি করে ((n = p = n_i))। (n) এবং (p)-এর গুণফল নিলে ফার্মি স্তর (E_F) অপসারিত হয়ে প্রতিষ্ঠিত হয় সার্বজনীন ভরক্রিয়া সূত্র (Mass-Action Law):

[
n cdot p = n_i^2 = N_c N_v e^{-E_g / k_B T}
]

[
n_i = sqrt{N_c N_v} e^{-E_g / (2 k_B T)}
]

বিশুদ্ধ সিলিকনে কক্ষ তাপমাত্রায় ((300 ext{ K})) (n_i approx 10^{10} ext{ cm}^{-3})। এছাড়া ইন্ট্রিনসিক ফার্মি লেভেল (E_i) ব্যান্ডের ঠিক মাঝামাঝি অবস্থান করে:

[
E_i = rac{E_c + E_v}{2} + rac{3}{4} k_B T lnleft( rac{m_{dh}^*}{m_{de}^*}
ight)
]

শাকিল মাহমুদ সজল

শাকিল মাহমুদ সজল

সফটওয়্যার প্রকৌশলী ও লেখক, ঢাকা, বাংলাদেশ। কম্পিউটার বিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, ইতিহাস ও ভাবনার সমন্বয়ে ব্যক্তিগত নোট ও প্রবন্ধ সংকলন।