যেকোনো পরম শূন্যের উপরের তাপমাত্রায় ক্রিস্টালের পরমাণুগুলো তাদের সাম্যাবস্থার চারপাশে কম্পিত হতে থাকে। এই যৌথ কম্পন মোডগুলোর কোয়ান্টাম রূপই হলো ফোনন (Phonon)—যা মূলত বোসনীয় কোয়াসিপার্টিকেল। ফোনন সেমিকন্ডাক্টরে তাপ পরিবাহিতা নির্ধারণ করে এবং ইলেকট্রনের সাথে সংঘর্ষের মাধ্যমে চার্জ চলাচলের গতিশীলতা সীমিত করে।

১. দ্বিপারমাণবিক ১-ডি ল্যাটিসের গতিবিদ্যা

(M_1) ও (M_2) ভরের দুটি ভিন্ন পরমাণু নিয়ে গঠিত একমাত্রিক শিকলে নিউটনের গতিসূত্র প্রয়োগ করে সমাধান করলে দুটি ভিন্ন কম্পাঙ্ক শাখা ((omega^2)) পাওয়া যায়:

[
omega^2(k) = C left( rac{1}{M_1} + rac{1}{M_2}
ight) pm C sqrt{left( rac{1}{M_1} + rac{1}{M_2}
ight)^2 – rac{4 sin^2(ka/2)}{M_1 M_2}}
]

এর দুটি মৌলিক শাখা হলো:

  • অ্যাকোস্টিক শাখা (Acoustic Branch): দীর্ঘ তরঙ্গদৈর্ঘ্যে ((k o 0)) এর বেগ শব্দের বেগের সমতুল্য ((omega = v_s k))। এখানে আদি কোষের পরমাণুদ্বয় একই দশায় একসঙ্গে দোলে।
  • অপটিক্যাল শাখা (Optical Branch): (k o 0) সীমানায় কম্পাঙ্ক অশূন্য থাকে। এখানে পরমাণু দুটি পরস্পর বিপরীতমুখী দশায় কম্পিত হয়, যা পোলার সেমিকন্ডাক্টরে (যেমন GaAs) শক্তিশালী ইলেকট্রিক ডাইপোল তৈরি করে অবলোহিত আলোর সাথে মিথস্ক্রিয়া ঘটায়।

২. ফোননের সেকেন্ড কোয়ান্টাইজেশন ও পরিসংখ্যান

ল্যাটিস কম্পনকে কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটর হিসেবে বিস্তার করলে ফোননের মোট হ্যামিল্টোনিয়ান দাঁড়ায়:

[
hat{H}_{ ext{ph}} = sum_{mathbf{q}, s} hbar omega_s(mathbf{q}) left( hat{a}_{mathbf{q},s}^dagger hat{a}_{mathbf{q},s} + rac{1}{2}
ight)
]

যেহেতু ফোনন বোসন কণা, তাই তাদের তাপীয় সংখ্যা বোস-আইনস্টাইন সূত্র মেনে চলে:

[
langle n_{mathbf{q},s}
angle = rac{1}{e^{hbar omega_s(mathbf{q}) / k_B T} – 1}
]

৩. ডিবাই ও আইনস্টাইন মডেল এবং তাপধারণ ক্ষমতা

ল্যাটিসের মোট তাপীয় শক্তি নির্ণয়ে ফোননের স্টেট ডেনসিটি (g(omega)) ব্যবহৃত হয়:

  • ডিবাই মডেল (Debye Model): অ্যাকোস্টিক ফোননের রৈখিক বিস্তার ধরে ত্রিমাত্রিক জগতে ডেনসিটি অব স্টেটস দ্বিঘাত রূপ নেয়: (g_D(omega) propto omega^2)। নিম্ন তাপমাত্রায় ((T ll Theta_D)) এটি ক্রিস্টালের তাপধারণ ক্ষমতার বিখ্যাত ডিবাই (T^3) সূত্র প্রদান করে:
    [
    C_v propto T^3
    ]
  • আইনস্টাইন মডেল (Einstein Model): অপটিক্যাল মোডের জন্য একটি নির্দিষ্ট কম্পাঙ্ক (omega_E) ধরে নিম্ন তাপমাত্রায় মোডগুলোর সূচকীয় হিমায়িতকরণ (Exponential Freeze-out) ব্যাখ্যা করে।
শাকিল মাহমুদ সজল

শাকিল মাহমুদ সজল

সফটওয়্যার প্রকৌশলী ও লেখক, ঢাকা, বাংলাদেশ। কম্পিউটার বিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, ইতিহাস ও ভাবনার সমন্বয়ে ব্যক্তিগত নোট ও প্রবন্ধ সংকলন।