কঠিন পদার্থের এনার্জি ব্যান্ড তত্ত্বকে দুটি ভিন্ন অথচ পরিপূরক প্রান্ত থেকে ব্যাখ্যা করা যায়: প্রথমটি হলো নিয়ারলি ফ্রি ইলেকট্রন (NFE) মডেল—যেখানে ইলেকট্রনকে প্রায় মুক্ত ধরে পর্যায়বৃত্ত ল্যাটিস বিভবকে একটি ক্ষুদ্র বিশৃঙ্খলা (Perturbation) হিসেবে গণ্য করা হয়; দ্বিতীয়টি হলো টাইট-বাইন্ডিং (LCAO) মডেল—যেখানে পরমাণুসমূহের স্থানীয় অরবিটালের উপরিপাতন থেকে ব্যান্ড গঠন গণনা করা হয়।
১. নিয়ারলি ফ্রি ইলেকট্রন (NFE) মডেল ও ডিজেনারেট পারটারবেশন
ব্রিলুয়া জোনের সীমানা থেকে দূরে নন-ডিজেনারেট পারটারবেশন তত্ত্ব প্রযোজ্য হলেও ব্র্যাগ প্রতিফলন সমতলে ((|mathbf{k}| approx |mathbf{k} – mathbf{G}|)) দুটি সমতুল্য সমতল তরঙ্গের মধ্যে ডিজেনারেট পারটারবেশন প্রয়োগ করতে হয়:
[
begin{pmatrix}
E_{mathbf{k}}^0 – E & V_{mathbf{G}}
V_{mathbf{G}}^* & E_{mathbf{k}-mathbf{G}}^0 – E
nd{pmatrix}
begin{pmatrix} C_{mathbf{k}} C_{mathbf{k}-mathbf{G}} nd{pmatrix} = 0
]
জোন সীমানায় সেকুলার সমীকরণ সমাধান করলে দুটি বিচ্ছিন্ন শক্তির মান পাওয়া যায়:
[
E_{pm} = E_{mathbf{k}}^0 pm |V_{mathbf{G}}|
]
এর ফলে ব্রিলুয়া জোনের প্রান্তে ডিজেনারেসি দূর হয়ে একটি শক্তি ব্যান্ড গ্যাপ তৈরি হয়:
[
E_g = 2 |V_{mathbf{G}}|
]
এই ব্যান্ডগ্যাপের কারণ হলো ল্যাটিসে গঠিত স্থির তরঙ্গ: একটি তরঙ্গের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব আয়ন কোরের ওপর কেন্দ্রীভূত থাকে ((psi_+), শক্তি কম), অপরটি আয়নগুলির মধ্যবর্তী ফাঁকা স্থানে থাকে ((psi_-), শক্তি বেশি)।
২. ক্রোনিগ-পেনি ১-ডি সমাধানযোগ্য মডেল
একমাত্রিক ক্ষেত্রে আয়তাকার পটেনশিয়াল ব্যারিয়ারের পর্যায়বৃত্ত বিন্যাসের ক্ষেত্রে ডেল্টা ফাংশন ব্যারিয়ার ধরে সমাধান করলে বিখ্যাত সম্পর্কটি পাওয়া যায়:
[
P rac{sin(alpha a)}{alpha a} + cos(alpha a) = cos(ka)
]
যেহেতু ডানদিকের মান ([-1, +1])-এর মধ্যে সীমাবদ্ধ, তাই বামদিকের মান যখন একের চেয়ে বড় হয়, তখন কোনো বাস্তব তরঙ্গ সমাধান পাওয়া যায় না। এই অঞ্চলগুলোই কোয়ান্টাম মেকানিক্সে নিষিদ্ধ শক্তি অঞ্চল বা ব্যান্ড গ্যাপ (Forbidden Bandgap)।
৩. টাইট-বাইন্ডিং (LCAO) অ্যাপ্রক্সিমেশন
বিপরীত প্রান্তে, টাইট-বাইন্ডিং মডেলে ক্রিস্টালের ব্লখ তরঙ্গকে পৃথক পৃথক পারমাণবিক অরবিটালের ((phi)) রৈখিক সমাবেশ (Linear Combination of Atomic Orbitals) হিসেবে লেখা হয়:
[
psi_{mathbf{k}}(mathbf{r}) = rac{1}{sqrt{N}} sum_{j=1}^N e^{i mathbf{k} cdot mathbf{R}_j} phi(mathbf{r} – mathbf{R}_j)
]
নিকটবর্তী প্রতিবেশীদের হপিং ইন্টিগ্রাল (t) বিবেচনায় নিলে শক্তি সম্পর্কের রূপ দাঁড়ায়:
[
E(k) = psilon_0 – 2t cos(ka)
]
গ্রাফিনের ক্ষেত্রে এই টাইট-বাইন্ডিং সমীকরণ থেকেই ব্রিলুয়া জোনের (K) ও (K’) বিন্দুতে রৈখিক ডিরাক কোণ (Dirac Cone) ও ভরহীন ডিরাক ফার্মিয়নের উপস্থিতি প্রমাণিত হয়।
