ক্রিস্টাল ল্যাটিসে পরিভ্রমণরত একটি ইলেকট্রন মুক্ত কণার মতো আচরণ করে না; বরং তা আয়ন কোরগুলোর পর্যায়বৃত্ত ইলেকট্রোস্ট্যাটিক বিভবের সাথে মিথস্ক্রিয়া করে। ব্লখের উপপাদ্য (Bloch’s Theorem) প্রমাণ করে যে এই বিভবে ইলেকট্রনের আইগেন-স্টেটগুলো মড্যুলেটেড সমতল তরঙ্গের রূপ নেয়, যার ফলস্বরূপ শক্তির অবিচ্ছিন্ন বিন্যাসের বদলে অনুমোদিত ব্যান্ড ও নিষিদ্ধ ব্যান্ডগ্যাপের সৃষ্টি হয়।
১. পর্যায়বৃত্ত বিভবে এক-ইলেকট্রন হ্যামিল্টোনিয়ান
স্বতন্ত্র-ইলেকট্রন অনুমানে ক্রিস্টালের ভেতর স্থির শ্রোডিঙ্গার সমীকরণটি হলো:
[
hat{H} psi(mathbf{r}) = left[ -rac{hbar^2}{2m_0}
abla^2 + V(mathbf{r})
ight] psi(mathbf{r}) = E psi(mathbf{r})
]
যেখানে স্কেলার পটেনশিয়াল ক্রিস্টাল ল্যাটিসের স্থানিক পর্যায়বৃত্ততা মেনে চলে:
[
V(mathbf{r} + mathbf{R}) = V(mathbf{r})
]
২. ব্লখের উপপাদ্যের গাণিতিক প্রতিপাদন
আমরা ট্রান্সলেশন অপারেটর (hat{T}_{mathbf{R}}) বিবেচনা করি:
[
hat{T}_{mathbf{R}} psi(mathbf{r}) = psi(mathbf{r} + mathbf{R})
]
যেহেতু বিভব শক্তি পর্যায়বৃত্ত, তাই ট্রান্সলেশন অপারেটর হ্যামিল্টোনিয়ানের সাথে বিনিময় (Commute) করে:
[
[hat{H}, hat{T}_{mathbf{R}}] = 0
]
অতএব, (hat{H}) এবং (hat{T}_{mathbf{R}})-এর একটি সাধারণ আইগেনফাংশন সেট বিদ্যমান। ধারাবাহিক স্থানান্তরের ক্ষেত্রে:
[
hat{T}_{mathbf{R}_1} hat{T}_{mathbf{R}_2} = hat{T}_{mathbf{R}_1 + mathbf{R}_2}
]
বর্ন-ভন কারমান পর্যায়বৃত্ত সীমানা শর্ত প্রয়োগ করলে আইগেনমান একটি জটিল একক বৃত্তীয় মান লাভ করে: (lambda(mathbf{R}) = e^{i mathbf{k} cdot mathbf{R}})। এর ফলে তরঙ্গের আইগেনফাংশন রূপ নেয়:
[
psi_{n,mathbf{k}}(mathbf{r} + mathbf{R}) = e^{i mathbf{k} cdot mathbf{R}} psi_{n,mathbf{k}}(mathbf{r})
]
বা প্রমিত ব্লখ আকারে:
[
psi_{n,mathbf{k}}(mathbf{r}) = e^{i mathbf{k} cdot mathbf{r}} u_{n,mathbf{k}}(mathbf{r})
]
যেখানে (u_{n,mathbf{k}}(mathbf{r})) একটি সেল-পিরিওডিক ফাংশন, যা ল্যাটিস ভেক্টরের সাপেক্ষে অপরিবর্তিত থাকে: (u_{n,mathbf{k}}(mathbf{r} + mathbf{R}) = u_{n,mathbf{k}}(mathbf{r}))।
৩. সেন্ট্রাল সমীকরণ (Central Equation)
বিভব ও তরঙ্গ ফাংশনকে রেসিপ্রোকাল স্পেসে ফুরিয়ার ধারা হিসেবে প্রকাশ করলে পাওয়া যায় কঠিন অবস্থার মৌলিক সেন্ট্রাল সমীকরণ:
[
left( rac{hbar^2 (mathbf{k} – mathbf{G})^2}{2m_0} – E
ight) C_{mathbf{k}-mathbf{G}} + sum_{mathbf{G}’} V_{mathbf{G} – mathbf{G}’} C_{mathbf{k}-mathbf{G}’} = 0
]
এই সমীকরণ জোটকে মেট্রিক্স ডায়াগোনালাইজেশনের মাধ্যমে সমাধান করলে বিভিন্ন (mathbf{k}) মানের জন্য শক্তি স্তর (E_n(mathbf{k})) পাওয়া যায়, যা এনার্জি ব্যান্ড গঠন করে।
৪. জোন স্কিমসমূহ
ব্যান্ড ডায়াগ্রাম প্রদর্শনের তিনটি মূল স্কিম রয়েছে:
- রিডিউসড জোন স্কিম (Reduced Zone Scheme): সব তরঙ্গ ভেক্টরকে প্রথম ব্রিলুয়া জোনের মধ্যে (-(pi/a) থেকে (+pi/a)) সীমাবদ্ধ রেখে বিভিন্ন ব্যান্ড শাখায় দেখানো হয়। সেমিকন্ডাক্টরের জন্য এটি সবচেয়ে কার্যকর।
- এক্সটেন্ডেড জোন স্কিম (Extended Zone Scheme): প্রতিটি ব্যান্ডকে তার নিজস্ব উচ্চতর ব্রিলুয়া জোনে উন্মুক্ত প্যারাবলিক কাঠামোতে উপস্থাপন করা হয়।
- পিরিওডিক জোন স্কিম (Periodic Zone Scheme): সমস্ত রেসিপ্রোকাল স্পেসে ব্যান্ডগুলোকে পর্যায়বৃত্তভাবে পুনরাবৃত্ত করা হয়।
