ক্রিস্টাল ল্যাটিসের ভেতর বহিঃস্থ বৈদ্যুতিক বা চৌম্বক ক্ষেত্র প্রয়োগ করলে ইলেকট্রন তার মুক্ত ভর (m_0) নিয়ে নিউটনের সাধারণ গতিসূত্র অনুযায়ী ত্বরান্বিত হয় না। ল্যাটিসের সাথে কোয়ান্টাম ইন্টারফেয়ারেন্সের কারণে ইলেকট্রনের জড়তা পুনর্গঠিত হয় একটি কার্যকর ভর টেনসরে (Effective Mass Tensor)—যা মূলত এনার্জি ব্যান্ডের স্থানিক বক্রতা থেকে নির্ধারিত হয়।

১. সেমিক্ল্যাসিক্যাল তরঙ্গ প্যাকেট গতিবিদ্যা

ক্রিস্টাল ব্যান্ডের একটি ইলেকট্রনকে স্থান ও ভরবেগ উভয় ক্ষেত্রে সীমিত একটি তরঙ্গ প্যাকেট হিসেবে গণ্য করা হয়। এই তরঙ্গ প্যাকেটের গ্রুপ বেগ (mathbf{v}_g) হলো রেসিপ্রোকাল স্পেসে এনার্জি ব্যান্ডের গ্রেডিয়েন্ট:

[
mathbf{v}_g(mathbf{k}) = rac{1}{hbar}
abla_{mathbf{k}} E_n(mathbf{k})
]

বহিঃস্থ লরেন্টজ বলের উপস্থিতিতে ক্রিস্টাল ভরবেগের পরিবর্তনের সেমিক্ল্যাসিক্যাল সমীকরণটি দাঁড়ায়:

[
hbar rac{dmathbf{k}}{dt} = mathbf{F}_{ ext{ext}} = -e left( mathbf{E} + mathbf{v}_g imes mathbf{B}
ight)
]

২. কার্যকরী ভর টেনসর প্রতিপাদন

গ্রুপ বেগকে সময়ের সাপেক্ষে ব্যবকলন করে ত্বরণ (mathbf{a}) নির্ণয় করা যায়:

[
a_i = rac{d v_{g,i}}{dt} = rac{1}{hbar} sum_j rac{partial^2 E}{partial k_i partial k_j} rac{d k_j}{dt}
]

(rac{d k_j}{dt} = rac{1}{hbar} F_j) প্রতিস্থাপন করলে পাওয়া যায় কার্যকরী ভরের টেনসর রূপ:

[
a_i = sum_j left( rac{1}{m^*}
ight)_{ij} F_{ ext{ext},j}
]

যেখানে বিপরীত কার্যকরী ভর টেনসর হলো এনার্জি ব্যান্ডের দ্বিতীয় ব্যবকলজ বা হেসিয়ান ম্যাট্রিক্স:

[
left( rac{1}{m^*}
ight)_{ij} quiv rac{1}{hbar^2} rac{partial^2 E_n(mathbf{k})}{partial k_i partial k_j}
]

এর তাৎপর্য অত্যন্ত গভীর:

  • কন্ডাকশন ব্যান্ডের তলদেশ: বক্রতা ধনাত্মক ((partial^2 E/partial k^2 > 0)), ফলে কার্যকরী ভর ধনাত্মক (m^* > 0)।
  • ভ্যালেন্স ব্যান্ডের শীর্ষ: বক্রতা ঋণাত্মক ((partial^2 E/partial k^2 < 0)), ফলে আপাত কার্যকরী ভর ঋণাত্মক (m^* < 0)।
  • অ্যানাইসোট্রপিক উপবৃত্ত: সিলিকনের কন্ডাকশন ব্যান্ডে অনুদৈর্ঘ্য ভর (m_l^* approx 0.98 m_0) এবং অনুপ্রস্থ ভর (m_t^* approx 0.19 m_0)।

৩. হোলের কোয়াসিপার্টিকেল ধারণা

একটি সম্পূর্ণ পূর্ণ ভ্যালেন্স ব্যান্ড কোনো তড়িৎ পরিবহন করে না, কারণ সমমানের ও বিপরীতমুখী বেগের ইলেকট্রনগুলো একে অপরকে নাকচ করে দেয় ((sum mathbf{v} = 0))। যখন ভ্যালেন্স ব্যান্ড থেকে একটি ইলেকট্রন অপসারিত হয়, তখন অবশিষ্ট প্রায় (10^{23}) সংখ্যক ইলেকট্রনের সমষ্টিগত প্রবাহ একটি ধনাত্মক চার্জযুক্ত কণার প্রবাহের সমতুল্য হয়:

[
mathbf{J} = -e sum_{mathbf{k}
eq mathbf{k}_e} mathbf{v}(mathbf{k}) = +e , mathbf{v}(mathbf{k}_e)
]

এই অনুপস্থিত ইলেকট্রনকেই হোল (Hole) নামক কোয়াসিপার্টিকেল হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

[
mathbf{k}_h = -mathbf{k}_e, quad E_h = -E_e, quad q_h = +e, quad m_h^* = -m_e^* > 0
]

যেহেতু ভ্যালেন্স ব্যান্ডের ইলেকট্রনের ভর ছিল ঋণাত্মক, তাই হোলের কার্যকরী ভর হয় ধনাত্মক। ফলে হোল একটি স্বাধীন ধনাত্মক আধানযুক্ত বাস্তব কণার ন্যায় সমস্ত ইলেক্ট্রোম্যাগনেটিক ক্ষেত্রে প্রতিক্রিয়া জানায়।

শাকিল মাহমুদ সজল

শাকিল মাহমুদ সজল

সফটওয়্যার প্রকৌশলী ও লেখক, ঢাকা, বাংলাদেশ। কম্পিউটার বিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, ইতিহাস ও ভাবনার সমন্বয়ে ব্যক্তিগত নোট ও প্রবন্ধ সংকলন।