১৯৭৮ সালে তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞানী মিচেল ফেইগেনবাউম (Mitchell Feigenbaum) পদার্থবিজ্ঞানে এমন এক সার্বজনীন সত্য আবিষ্কার করেন যা আলোর গতি বা প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবকের মতোই পরম: যেকোনো নন-লিনিয়ার সিস্টেমে বিশৃঙ্খলায় পৌঁছানোর পথ দুটি সার্বজনীন ধ্রুবক ($delta$ ও $alpha$) দ্বারা নিয়ন্ত্রিত হয়। সমীকরণটি তরল হিলিয়ামের পরিচলন হোক, ইলেকট্রনিক সার্কিট হোক বা জীববিজ্ঞানের জনসংখ্যা মডেল—ক্যাওসে রূপান্তরের জ্যামিতি হুবহু এক!

১. মেট্রিক সার্বজনীনতার আবিষ্কার

ফেইগেনবাউম সাধারণ হ্যান্ডহেল্ড ক্যালকুলেটরে লজিস্টিক ম্যাপের পিরিয়ড-ডাবলিং বিভাজনগুলো পরীক্ষা করছিলেন। তিনি লক্ষ্য করলেন যে প্রতিটি নতুন বিভাজনের মধ্যকার দূরত্বের অনুপাত ($Delta_n / Delta_{n+1}$) একটি নির্দিষ্ট জ্যামিতিক হারে সংকুচিত হয়:

[
delta = lim_{n to infty} frac{r_n – r_{n-1}}{r_{n+1} – r_n} approx 4.6692016dots
]

এরপর তিনি যখন সম্পূর্ণ ভিন্ন একটি ত্রিকোণমিতিক সাইন সমীকরণ ($x_{n+1} = lambda sin(pi x_n)$) পরীক্ষা করলেন, তখন তিনি বিস্মিত হয়ে দেখলেন যে সেখানেও হুবহু একই অনুপাত $delta approx 4.6692$ পাওয়া যাচ্ছে!

একই সাথে তিনি শাখাগুলোর উলম্ব দূরত্বের স্কেলিং অনুপাত বের করেন, যা আরেকটি সার্বজনীন ধ্রুবক প্রদান করে:

[
alpha approx 2.5029078dots
]

২. রিনরমালাইজেশন গ্রুপ ও ফাংশনাল সমীকরণ

কোয়ান্টাম ফিল্ড থিওরি থেকে রিনরমালাইজেশন গ্রুপের ধারণা ধার করে ফেইগেনবাউম প্রমাণ করেন যে, অসীম বিভাজনের সীমায় সমীকরণটিকে দুইবার প্রয়োগ করলে তা নিজেরই একটি ক্ষুদ্রতর প্রতিচ্ছবি তৈরি করে:

[
g^*(x) = -alpha g^*left( g^*left( -frac{x}{alpha} right) right)
]

এই সার্বজনীন ফাংশনাল সমীকরণের কোনো নির্দিষ্ট প্যারামিটার নেই; এটি একটি বিশুদ্ধ গাণিতিক স্থির বিন্দু যা যেকোনো চতুর্ঘাত বা দ্বিঘাত সর্বোচ্চ বিন্দুর জন্য প্রযোজ্য।

৩. একক অস্থিতিশীল আইগেনমান

এই রিনরমালাইজেশন অপারেটরের লিনিয়ারাইজড আইগেনমান বিশ্লেষণ করলে দেখা যায় এর ঠিক একটিমাত্র আইগেনমান ১-এর চেয়ে বড়, এবং সেই আইগেনমানটিই হলো বিখ্যাত ফেইগেনবাউম ধ্রুবক $delta = 4.6692$। অন্য সমস্ত ক্ষুদ্র প্রভাব সময়ের সাথে সাথে শূন্যে মিলিয়ে যায়, ফলে সিস্টেমের অভ্যন্তরীণ বস্তুগত পার্থক্য মুছে গিয়ে প্রকৃতি কেবল এই সার্বজনীন সংখ্যাকেই প্রকাশ করে।

৪. গবেষণাগারে সত্যের প্রমাণ

১৯৮০-র দশকে বিজ্ঞানীরা ল্যাবরেটরিতে তরল হিলিয়ামের ঘূর্ণন পরীক্ষা করে এবং ইলেকট্রনিক ডায়োড সার্কিটের কম্পন মেপে ফেইগেনবাউমের এই ধ্রুবকের সত্যতা হাতেনাতে প্রমাণ করেন। বিশৃঙ্খলা কোনো অন্ধ নিয়মহীনতা নয়; বিশৃঙ্খলা হলো প্রকৃতির সবচেয়ে গভীর ও নিখুঁত এক গাণিতিক সার্বজনীন শৃঙ্খলা।

শাকিল মাহমুদ সজল

শাকিল মাহমুদ সজল

সফটওয়্যার প্রকৌশলী ও লেখক, ঢাকা, বাংলাদেশ। কম্পিউটার বিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, ইতিহাস ও ভাবনার সমন্বয়ে ব্যক্তিগত নোট ও প্রবন্ধ সংকলন।