অবিচ্ছিন্ন অন্তরক সমীকরণে বিশৃঙ্খলা সৃষ্টির জন্য কমপক্ষে তিনটি মাত্রার প্রয়োজন হলেও, বিচ্ছিন্ন সমীকরণ বা ডিফারেন্স ইকুয়েশন মাত্র এক মাত্রার (1D) সমীকরণেই অসীম জটিল বিশৃঙ্খলা তৈরি করতে পারে। এক-মাত্রিক নন-লিনিয়ার গতিবিদ্যার সবচেয়ে বিখ্যাত প্রতীক হলো লজিস্টিক ম্যাপ (Logistic Map), যা ১৯৭৬ সালে রবার্ট মে জীববিজ্ঞানের সাধারণ মডেল থেকে গণিতের এক অপার মহাবিশ্ব হিসেবে উন্মোচন করেছিলেন।
১. লজিস্টিক ম্যাপ ও কবওয়েব চিত্র
লজিস্টিক সমীকরণটি একটি প্রজন্মের জনসংখ্যা থেকে পরবর্তী প্রজন্মের জনসংখ্যা নির্ধারণ করে:
[
x_{n+1} = r x_n (1 – x_n)
]
এখানে $x in [0, 1]$ হলো স্বাভাবিকীকৃত জনসংখ্যা এবং $r$ হলো বৃদ্ধির হার। $y = f(x)$ প্যারাবোলা এবং $y = x$ সরলরেখার সাহায্যে কবওয়েব (Cobweb) চিত্র এঁকে ধাপে ধাপে কণার গতিপথ নিখুঁতভাবে পর্যবেক্ষণ করা যায়।
২. স্থির বিন্দু ও স্থায়িত্বের শর্ত
সমীকরণটির দুটি স্থির বিন্দু রয়েছে: $x^* = 0$ এবং $x^* = 1 – 1/r$। ডিফারেন্স ইকুয়েশনে কোনো স্থির বিন্দুর স্থায়িত্ব নির্ভর করে তার প্রথম ডেরিভেটিভ বা মাল্টিপ্লায়ারের ওপর:
[
|f'(x^*)| < 1
]
গণনা করে দেখা যায়, $1 < r < 3$ সীমার মধ্যে জনসংখ্যা একটি নির্দিষ্ট স্থির মানে এসে চিরতরে স্থিতিশীল থাকে।
৩. পিরিয়ড-ডাবলিং ক্যাসকেড
$r = 3$ অতিক্রম করার সাথে সাথে স্থির বিন্দুটি অস্থিতিশীল হয়ে দুটি মানে দুলতে শুরু করে (পিরিয়ড-২ সাইকেল)। $r$ আরও বৃদ্ধি পেলে $r approx 3.449$-এ এটি ৪টি মানে বিভক্ত হয়, তারপর ৮টি, ১৬টি, ৩২টি—এভাবে জ্যামিতিক হারে বিভক্ত হতে থাকে:
[
2^0 to 2^1 to 2^2 to 2^3 to dots to 2^infty
]
এই বিভাজন একটি নির্দিষ্ট সংকটকালীন বিন্দুতে এসে মিলিত হয়:
[
r_infty approx 3.5699456dots
]
এই সীমার পর সিস্টেমটি সম্পূর্ণ বিশৃঙ্খল বা ক্যাওসের জগতে প্রবেশ করে, যেখানে কোনো নির্দিষ্ট পর্যায় থাকে না।
৪. লি-ইয়র্ক উপপাদ্য: পিরিয়ড থ্রি ইমপ্লাইজ ক্যাওস
ক্যাওসের সাগরে হঠাৎ করেই আবার শান্ত পর্যায়বৃত্ত জানালার আবির্ভাব ঘটে, যার মধ্যে সবচেয়ে বিখ্যাত হলো $r approx 3.83$-এ পিরিয়ড-৩ জানালা।
১৯৭৫ সালে তিয়েন-ইয়েন লি এবং জেমস ইয়র্ক তাঁদের অমর উপপাদ্য প্রমাণ করেন: “Period Three Implies Chaos”। কোনো ১ডি ম্যাপে যদি মাত্র একটি ৩-পর্যায়ের চক্র থাকে, তবে সেখানে মহাবিশ্বের প্রতিটি পূর্ণসংখ্যার ($১, ২, ৩, ৪, ৫dots$) পর্যায়ের কক্ষপথ নিশ্চিতভাবে বিদ্যমান থাকে, এবং একটি অসীম সংখ্যার গতিপথ চিরকাল সম্পূর্ণ বিশৃঙ্খলভাবে ঘুরে বেড়ায়। সারকোভস্কির উপপাদ্যে ৩ সংখ্যাটি এই তালিকার শীর্ষে অবস্থান করে।
