নন-লিনিয়ার ডায়নামিক্স, ক্যাওস ও জটিল সিস্টেম (পর্ব ১০): স্ট্রেঞ্জ অ্যাট্রাক্টর ও ফেজ স্পেস স্ট্রেচ-অ্যান্ড-ফোল্ড মেকানিক্স

কীভাবে একটি ডায়নামিক্যাল সিস্টেম অনন্তকাল ধরে দুটি নিকটবর্তী গতিপথকে সূচকীয় হারে দূরে সরিয়ে দিতে পারে, অথচ সেই গতিপথগুলো কখনোই একটি নির্দিষ্ট সীমাবদ্ধ এলাকার বাইরে চলে যায় না? এই কাইনেমেটিক প্যারাডক্সের সমাধান হলো নন-লিনিয়ার জ্যামিতির প্রসারণ ও ভাঁজকরণ (Stretching & Folding) মেকানিক্স, যা স্টিফেন স্মেইল তাঁর বিখ্যাত হর্সশু ম্যাপে (Horseshoe Map) এবং মিশেল হেনন তাঁর হেনন অ্যাট্রাক্টরে প্রমাণ করেছিলেন।

১. বিশৃঙ্খলার টপোলজি: স্মেইল হর্সশু ম্যাপ

১৯৬৭ সালে ফিল্ডস মেডেলিস্ট স্টিফেন স্মেইল একটি একক বর্গক্ষেত্রের ওপর তিনটি রূপান্তর প্রয়োগ করেন:

1. প্রসারণ (Stretching): বর্গটিকে আনুভূমিকভাবে টেনে দ্বিগুণ লম্বা করা হয়, যা কণাগুলোকে সূচকীয় হারে দূরে সরিয়ে দেয়।
2. সংকোচন (Compressing): এটিকে উল্লম্বভাবে চেপে অত্যন্ত পাতলা ফিতায় পরিণত করা হয় (শক্তি অপচয় বা ডিসিপেশন)।
3. ভাঁজকরণ (Folding): ফিতাটিকে ঘোড়ার নালের মতো U-আকারে বাঁকিয়ে পুনরায় মূল বর্গক্ষেত্রের ওপর বসানো হয়।

স্মেইল প্রমাণ করেন যে এই প্রক্রিয়াটি অনন্তকাল পুনরাবৃত্তি করলে যে অবশিষ্টাংশ টিকে থাকে, তা দুটি ক্যান্টর সেটের গুণফলের সমান। এই ফ্র্যাক্টাল তলে কণার গতিপথ একটি কয়েন টসের এলোমেলো হেড-টেল ট্রেনের সাথে হুবহু সমতুল্য (Bernoulli Shift)। অর্থাৎ নিখুঁত নিয়মের ভেতর থেকেই তৈরি হয় নিখুঁত বিশৃঙ্খলা!

২. হেনন অ্যাট্রাক্টর (Hénon Map)

১৯৭৬ সালে ফরাসি জ্যোতির্বিদ মিশেল হেনন লরেন্জ অ্যাট্রাক্টরের দ্বি-মাত্রিক রূপ হিসেবে নিচের সমীকরণ প্রণয়ন করেন:

[
x_{n+1} = 1 – a x_n^2 + y_n, quad y_{n+1} = b x_n
]

ক্যানোনিকাল মান $a = 1.4, b = 0.3$-এর জন্য ক্ষেত্রফল প্রতি পদক্ষেপে $০.৩$ গুণ সংকুচিত হয়। হেনন অ্যাট্রাক্টরে জুম করলে দেখা যায় এটি অনন্ত সূক্ষ্ম রেখার স্তরে তৈরি, যার ফ্র্যাক্টাল ডাইমেনশন প্রায় $১.২৬$।

৩. রোয়েসলার অ্যাট্রাক্টর: ন্যূনতম অবিচ্ছিন্ন ক্যাওস

অটো রোয়েসলার লরেন্জের তিন সমীকরণকে আরও সরল করে তৈরি করেন রোয়েসলার সিস্টেম:

[
dot{x} = -y – z, quad dot{y} = x + a y, quad dot{z} = b + z(x – c)
]

এখানে গতিপথগুলো প্রথমে একটি সমতলে গোল হয়ে ঘুরতে ঘুরতে বাইরের দিকে প্রসারিত হয়। বিস্তার একটি নির্দিষ্ট সীমা অতিক্রম করলে এটি হঠাৎ ৩য় মাত্রা বরাবর উপরে উঠে যায়, বাঁক খেয়ে ভাঁজ হয় এবং আবার ভেতরে ফিরে আসে। এটি একটি জীবন্ত ফিতা ভাঁজের মতো ক্যাওস তৈরি করে।

শাকিল মাহমুদ সজল

সফটওয়্যার প্রকৌশলী ও লেখক, ঢাকা, বাংলাদেশ। কম্পিউটার বিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, ইতিহাস ও ভাবনার সমন্বয়ে ব্যক্তিগত নোট ও প্রবন্ধ সংকলন।