ডিসিপেটিভ সিস্টেমে শক্তি ক্ষয় হয়ে ফেজ স্পেস সংকুচিত হয় এবং স্ট্রেঞ্জ অ্যাট্রাক্টর তৈরি হয়। কিন্তু সংরক্ষণশীল বা হ্যামিল্টোনিয়ান সিস্টেমে লিউভিলের উপপাদ্য অনুসারে শক্তি ও ফেজ স্পেসের আয়তন সর্বদা অপরিবর্তনীয় থাকে। যেখানে কোনো অ্যাট্রাক্টর থাকা সম্ভব নয়, সেখানে ক্যাওস কীভাবে জন্ম নেয়? এই পরম রহস্যের সমাধান করেছে বিংশ শতাব্দীর শাস্ত্রীয় বলবিদ্যার সেরা আবিষ্কার: কেএএম উপপাদ্য (KAM Theorem)।
১. সমাকলনযোগ্য সিস্টেম ও ইনভ্যারিয়েন্ট টোরাস
যদি একটি $N$-মাত্রার হ্যামিল্টোনিয়ান সিস্টেমে $N$-টি স্বাধীন সংরক্ষণশীল ধ্রুবক থাকে, তবে তাকে সম্পূর্ণ সমাকলনযোগ্য (Integrable) বলা হয়। এমন সিস্টেমকে অ্যাকশন-অ্যাঙ্গেল $(mathbf{I}, boldsymbol{theta})$ চলকে প্রকাশ করা যায়, যেখানে সমস্ত গতিপথ সমকেন্দ্রিক $N$-মাত্রিক ইনভ্যারিয়েন্ট টোরাস (Torus)-এর ওপর আবদ্ধ থাকে (যেমন সূর্যের চারদিকে একক গ্রহের নিখুঁত উপবৃত্তাকার কক্ষপথ)।
২. স্মল ডিনমিনেটর সংকট ও কেএএম উপপাদ্য
যখন সৌরজগতের মতো কোনো সিস্টেমে বৃহস্পতি গ্রহের মহাকর্ষীয় টান অন্য গ্রহের ওপর ক্ষুদ্র বিচ্যুতি ($epsilon$) হিসেবে কাজ করে:
[
H = H_0(mathbf{I}) + epsilon H_1(mathbf{I}, boldsymbol{theta})
]
তখন সাধারণ গণিতে ভগ্নাংশের নিচে $mathbf{k} cdot boldsymbol{omega} to 0$ হওয়ার কারণে সমীকরণগুলো অসীমে বিস্ফোরিত হয়, যাকে পোঁয়াকারে স্মল ডিনমিনেটর সমস্যা বলেছিলেন।
১৯৫৪ থেকে ১৯৬৮ সালের মধ্যে কলমোগোরভ, আর্নল্ড এবং মোজার প্রমাণ করেন যে: ক্ষুদ্র বিচ্যুতির ক্ষেত্রে বেশিরভাগ টোরাস ধ্বংস হয় না! যেসব টোরাসের ঘূর্ণন অনুপাত যথেষ্ট পরিমাণে অমূলদ (Diophantine Condition পূরণ করে), তারা অক্ষত থাকে এবং কেবল সামান্য বেঁকে গিয়ে মহাবিশ্বের কক্ষপথগুলোকে স্থিতিশীল রাখে।
৩. রেজোন্যান্স ও পোয়াঁকারে-বারখফ দ্বীপপুঞ্জ
যেসব টোরাসের অনুপাত মূলদ সংখ্যা (রেশনাল রেজোন্যান্স), সেগুলো ভেঙে টুকরো টুকরো হয়ে যায়। পোয়াঁকারে-বারখফ উপপাদ্য অনুযায়ী সেখানে জন্ম নেয় স্থিতিশীল দ্বীপের সারি এবং তাদের ফাঁকে ফাঁকে তৈরি হয় বিশৃঙ্খল ট্র্যাজেক্টরির উত্তাল ক্যাওটিক সাগর।
৪. আর্নল্ড ডিফিউশন (Arnold Diffusion)
মাত্র দুটি চলক বিশিষ্ট সিস্টেমে অক্ষত টোরাসগুলো ক্যাওসকে দেয়ালের মতো আটকে রাখে। কিন্তু সৌরজগতের মতো জটিল বহু-গ্রহ সিস্টেমে ($N ge 3$) এই টোরাসগুলো আর পুরো স্থান আটকে রাখতে পারে না। সমস্ত বিশৃঙ্খল অঞ্চল একত্রিত হয়ে একটি মহাজাগতিক মাকড়সার জালের মতো আর্নল্ড ওয়েব তৈরি করে। কোটি কোটি বছর ধরে গ্রহ বা গ্রহাণুগুলো এই জাল বেয়ে ধীরে ধীরে নিজেদের কক্ষপথ পরিবর্তন করে ছিটকে যেতে পারে, যার নাম আর্নল্ড ডিফিউশন—যা প্রমাণ করে সৌরজগতের চূড়ান্ত ভাগ্যও চিরকাল পরম স্থিতিশীল নয়!
