স্ট্রিং তত্ত্ব কোয়ান্টাইজেশন করতে গিয়ে তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞান এক যুগান্তকারী সত্যের মুখোমুখি হয়: স্ট্রিং তত্ত্ব আমাদের ইচ্ছামতো যেকোনো মাত্রার জগতে টিকে থাকতে পারে না। কোয়ান্টাম পর্যায়ে কোনো অ্যানোমালি বা অসঙ্গতি ছাড়া তত্ত্বটিকে টিকে থাকতে হলে স্থানকালের মাত্রাকে একটি পরম গাণিতিক সংখ্যায় সীমাবদ্ধ হতে হয়। এই পর্বে আমরা লাইট-কোন কোয়ান্টাইজেশন (Light-Cone Quantization) সম্পাদন করব, ভিরাসোরো বীজগণিত (Virasoro Algebra) প্রতিপাদন করব, ২৬ মাত্রার জগতের আবশ্যকতা প্রমাণ করব এবং ভরহীন স্পিন-২ গ্র্যাভিটনের জন্ম উন্মোচন করব।

১. লাইট-কোন স্থানাঙ্ক ও গেজ ফিক্সিং

শারীরিক ও অ-ভৌত ঘোস্ট স্টেটগুলোকে দূর করতে আমরা লাইট-কোন স্থানাঙ্ক ব্যবহার করি:

[
X^pm = rac{X^0 pm X^{D-1}}{sqrt{2}}
]

গেজ শর্ত (X^+ = 2alpha’ p^+ au) ধরে নিলে কেবল অনুপ্রস্থ স্থানাঙ্ক (X^i) ((i = 1, dots, D-2)) স্বাধীন থাকে। এদের কোয়ান্টাম কমুটেটর সম্পর্ক:

[
[alpha_m^i, alpha_n^j] = m , delta^{ij} , delta_{m+n, 0}
]

যেখানে (alpha_{-m}) হলো ক্রিয়েশন অপারেটর এবং (alpha_m) হলো অ্যানিহিলেশন অপারেটর।

২. ভিরাসোরো বীজগণিত ও সংকট মাত্রা (D = 26)

শক্তি-ভরবেগ টেনসরের কোয়ান্টাম মোডগুলো ভিরাসোরো বীজগণিত মেনে চলে:

[
[L_m, L_n] = (m – n)L_{m+n} + rac{c}{12}(m^3 – m)delta_{m+n, 0}
]

এখানে (c) হলো সেন্ট্রাল চার্জ (Central Charge)। প্রতিটি স্থানিক চলক ১ ইউনিট করে সেন্ট্রাল চার্জ দেয় ((c_{ ext{matter}} = D)), কিন্তু ফ্যাডিভ-পপভ ঘোস্ট ফিল্ডগুলো ঋণাত্মক সেন্ট্রাল চার্জ দেয় ((c_{ ext{ghost}} = -26))। কোয়ান্টাম তত্ত্বে প্রতিসাম্য রক্ষা করার পূর্বশর্ত হলো মোট সেন্ট্রাল চার্জ শূন্য হতে হবে:

[
c_{ ext{total}} = D – 26 = 0 quad implies quad D = 26
]

অর্থাৎ বোসনিক স্ট্রিং তত্ত্ব কেবল এবং কেবল ২৬-মাত্রিক স্থানকালেই কোয়ান্টাম বলবিদ্যায় সামঞ্জস্যপূর্ণ!

৩. স্পেকট্রাম এবং গ্র্যাভিটনের জন্ম

ক্লোজড স্ট্রিংয়ের ভর সমীকরণ:

[
M^2 = rac{4}{alpha’} (N – 1)
]

  1. (N = 0) (গ্রাউন্ড স্টেট): (M^2 = -4/alpha’ < 0), এটি একটি ট্যাকিয়ন, যা নির্দেশ করে বোসনিক স্ট্রিং একটি অস্থির ভ্যাকুয়ামের চূড়ায় রয়েছে।
  2. (N = 1) (প্রথম উত্তেজিত অবস্থা): (M^2 = 0), অর্থাৎ এটি একটি ভরহীন অবস্থা! একে বিশ্লেষণ করলে তিনটি কণা পাওয়া যায়:
    • গ্র্যাভিটন (Graviton – (h_{mu
      u})):       একটি ভরহীন প্রতিসম স্পিন-২ কণা, যা মহাকর্ষ বলের বাহক।
    • কাল্ব-রামন্ড ফিল্ড ((B_{mu
      u})):       অ্যান্টিসিমেট্রিক ২-ফর্ম টেনসর ফিল্ড।
    • ডাইলাটন ((Phi)): একটি স্কেলার কণা যার মান স্ট্রিংয়ের কাপলিং শক্তি নির্ধারণ করে।

পদার্থবিজ্ঞানীরা মহাকর্ষ খুঁজতে যাননি; বরং স্ট্রিংয়ের স্বাভাবিক কোয়ান্টাম কম্পন থেকেই স্বতঃস্ফূর্তভাবে আইনস্টাইনের সাধারণ আপেক্ষিকতার গ্র্যাভিটন কণার জন্ম হয়েছে!

শাকিল মাহমুদ সজল

শাকিল মাহমুদ সজল

সফটওয়্যার প্রকৌশলী ও লেখক, ঢাকা, বাংলাদেশ। কম্পিউটার বিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, ইতিহাস ও ভাবনার সমন্বয়ে ব্যক্তিগত নোট ও প্রবন্ধ সংকলন।