তিন শতাব্দীরও বেশি সময় ধরে আধুনিক পদার্থবিজ্ঞান মৌলিক কণাসমূহকে শূন্য-মাত্রিক বিন্দু হিসেবে বিবেচনা করে এসেছে। কিন্তু মহাকর্ষ বলকে যখন কোয়ান্টাম বলবিদ্যায় গণনা করতে যাওয়া হয়, তখন শূন্য দূরত্বের বিন্দু মিথস্ক্রিয়ার কারণে অসীম অতিবেগুনি বিচ্যুতি (Ultraviolet Divergence) তৈরি হয় যা কোনোভাবেই দূর করা যায় না। স্ট্রিং তত্ত্ব (String Theory) এই পরম সংকটের এক অসাধারণ জ্যামিতিক সমাধান উপস্থাপন করে: প্রকৃতির মৌলিক উপাদানগুলো কোনো শূন্য-মাত্রিক বিন্দু নয়, বরং তারা প্লাঙ্ক স্কেলের ((sim ১০^{-৩৫} ext{ মিটার})) একমাত্রিক কম্পমান আপেক্ষিক স্ট্রিং। STRING-301 কোর্সের প্রথম পর্বে আমরা প্রথম নীতি থেকে স্ট্রিংয়ের ক্লাসিক্যাল সমীকরণ প্রতিপাদন করব।

১. বিন্দু কণা থেকে নাম্বু-গোতো অ্যাকশন (Nambu-Goto Action)

একটি আপেক্ষিক বিন্দু কণা স্থানকালে চলার সময় একমাত্রিক বিশ্বরেখা (worldline) তৈরি করে। কিন্তু একটি একমাত্রিক স্ট্রিং যখন সময়ের সাথে অগ্রসর হয়, তখন সে স্থানকালে একটি দ্বিমাত্রিক তল তৈরি করে, যাকে বলা হয় ওয়ার্ল্ডশিট (Worldsheet – (Sigma))। এই তলটিকে ( au) (সময়) এবং (sigma) (স্থানিক দৈর্ঘ্য) স্থানাঙ্ক দ্বারা প্রকাশ করা হয়:

[
X^mu = X^mu( au, sigma)
]

বিন্দু কণার মতো স্ট্রিংয়ের অ্যাকশনও তার ওয়ার্ল্ডশিটের মোট ক্ষেত্রফলের সমানুপাতিক হবে—এই ধারণা থেকে ইয়োইচিরো নাম্বু এবং তেতসুও গোতো প্রতিষ্ঠা করেন নাম্বু-গোতো অ্যাকশন:

[
S_{ ext{NG}} = -T int d^2sigma , sqrt{-det(g_{ab})} = -rac{1}{2pialpha’} int d^2sigma , sqrt{(dot{X} cdot X’)^2 – (dot{X})^2 (X’)^2}
]

এখানে (T = rac{1}{2pialpha’}) হলো স্ট্রিংয়ের টান (String Tension) এবং (ll_s quiv sqrt{alpha’}) হলো স্ট্রিংয়ের মৌলিক দৈর্ঘ্য স্কেল।

২. পলিয়াকভ অ্যাকশন (Polyakov Action)

নাম্বু-গোতো অ্যাকশনের বর্গমূল পদটি কোয়ান্টাইজেশনের জন্য অত্যন্ত জটিল। আলেক্সান্ডার পলিয়াকভ একটি স্বাধীন দ্বিমাত্রিক ওয়ার্ল্ডশিট মেট্রিক (h_{ab}( au, sigma)) যুক্ত করে একটি সহজতর অ্যাকশন প্রস্তাব করেন:

[
S_P[X, h] = -rac{1}{4pialpha’} int d^2sigma , sqrt{-h} , h^{ab} partial_a X^mu partial_b X_mu
]

এই অ্যাকশনে (h^{ab})-এর সাপেক্ষে অন্তরকলন করলে দেখা যায় যে ওয়ার্ল্ডশিটের শক্তি-ভরবেগ টেনসর শূন্য হতে হবে ((T_{ab} = 0)), যা সমাধান করলে নিখুঁতভাবে পূর্বের নাম্বু-গোতো অ্যাকশন ফিরে পাওয়া যায়।

৩. লোকাল প্রতিসাম্য ও কনফরমাল গেজ (Conformal Gauge)

পলিয়াকভ অ্যাকশনে তিনটি স্থানীয় প্রতিসাম্য কাজ করে:

  1. ওয়ার্ল্ডশিট ডিফিওমরফিজম: স্থানাঙ্কের অবাধ পরিবর্তন ((sigma^a o ilde{sigma}^a))।
  2. ওয়েল প্রতিসাম্য (Weyl Invariance): মেট্রিকের স্কেল পরিবর্তন ((h_{ab} o e^{2omega} h_{ab})), যা কেবল দ্বিমাত্রিক জগতেই সম্পূর্ণ সংরক্ষিত থাকে।

এই স্বাধীনতা ব্যবহার করে মেট্রিকটিকে একটি সমতল দ্বিমাত্রিক মিনকভস্কি মেট্রিক (ta_{ab})-তে রূপান্তর করা যায় (Conformal Gauge)। ফলে জটিল স্ট্রিং অ্যাকশনটি (D) সংখ্যক ভরহীন মুক্ত স্কেলার ফিল্ডের সহজ সমীকরণে রূপ নেয়:

[
S_P = rac{1}{4pialpha’} int d^2sigma left( (dot{X})^2 – (X’)^2
ight)
]

তবে ভৌত অবস্থার ওপর অতিরিক্ত ভিরাসোরো সীমাবদ্ধতা (Virasoro Constraints) (T_{ab} = 0) মেনে চলা বাধ্যতামূলক।

শাকিল মাহমুদ সজল

শাকিল মাহমুদ সজল

সফটওয়্যার প্রকৌশলী ও লেখক, ঢাকা, বাংলাদেশ। কম্পিউটার বিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, ইতিহাস ও ভাবনার সমন্বয়ে ব্যক্তিগত নোট ও প্রবন্ধ সংকলন।