চিরায়ত পদার্থবিজ্ঞান এবং সাধারণ আপেক্ষিকতায় স্থানকালের জ্যামিতি একটি সুনির্দিষ্ট পটভূমি—যেখানে (R) ব্যাসার্ধের একটি মহাবিশ্ব এবং (১/R) ব্যাসার্ধের একটি মহাবিশ্ব সম্পূর্ণ ভিন্ন। কিন্তু স্ট্রিং তত্ত্বে দূরত্বের এই ক্লাসিক্যাল ধারণা সম্পূর্ণ পরিবর্তিত হয়ে যায়। যেহেতু একমাত্রিক স্ট্রিং কোনো ক্ষুদ্র মাত্রার চারপাশে কেবল ঘুরতেই পারে না, বরং সুতোর মতো তাকে পেঁচিয়েও ধরতে পারে, তাই স্ট্রিং জ্যামিতিতে জন্ম নেয় এক অবিশ্বাস্য প্রতিসাম্য: টি-ডুয়ালিটি (T-Duality)। এটি প্রমাণ করে যে প্লাঙ্ক স্কেলের চেয়ে ছোট ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র মহাবিশ্ব গাণিতিকভাবে সুবিশাল দৃশ্যমান মহাবিশ্বের হুবহু সমতুল্য।

১. বৃত্তে কম্প্যাক্টিফিকেশন ও উইন্ডিং মোড (Winding Modes)

(R) ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তাকার মাত্রায় ((S^1)) যখন একটি কণা ঘোরে, তখন তার ভরবেগ কোয়ান্টাইজড হয়ে (p = n/R) মান ধারণ করে। কিন্তু একটি ক্লোজড স্ট্রিং এই বৃত্তের চারপাশে (w) বার পেঁচিয়ে থাকতে পারে (Winding Number):

[
E_{ ext{winding}} = rac{w R}{alpha’}
]

ব্যাসার্ধ (R) যত ছোট হয়, স্ট্রিংয়ের ঘূর্ণন গতিশক্তি তত বৃদ্ধি পায়; কিন্তু স্ট্রিংটিকে পেঁচিয়ে রাখতে প্রয়োজনীয় টান শক্তি তত হ্রাস পায়।

২. ভর সমীকরণ ও টি-ডুয়ালিটি প্রতিসাম্য

বৃত্তে আবদ্ধ স্ট্রিংয়ের মোট ভর সমীকরণ:

[
M^2 = rac{n^2}{R^2} + rac{w^2 R^2}{alpha’^2} + ext{Oscillators}
]

যদি আমরা ব্যাসার্ধকে উল্টে দিই এবং ভরবেগ ও পেঁচানোর সংখ্যা অদলবদল করি:

[
R longleftrightarrow rac{alpha’}{R} qquad ext{and} qquad n longleftrightarrow w
]

তবে সমগ্র ভর স্পেকট্রাম সম্পূর্ণ অপরিবর্তিত থাকে! অর্থাৎ কোনো পদার্থবিজ্ঞানী যদি (R) ব্যাসার্ধের মহাবিশ্বে পরীক্ষা চালান, তবে প্রাপ্ত সমস্ত ফলাফল (alpha’/R) ব্যাসার্ধের মহাবিশ্বের সাথে হুবহু এক হবে। প্রকৃতির ন্যূনতম দৈর্ঘ্য হলো স্ট্রিং স্কেল (ll_s = sqrt{alpha’})। এর চেয়ে ছোট কোনো দৈর্ঘ্যের অস্তিত্ব পদার্থবিজ্ঞানের নিয়মে অর্থহীন।

৩. বিভিন্ন স্ট্রিং তত্ত্বের মধ্যে সেতুবন্ধন

টি-ডুয়ালিটি কেবল স্থানকালকেই উল্টে দেয় না, বরং বিভিন্ন তত্ত্বের মধ্যে রূপান্তর ঘটায়:

[
ext{Type IIA (ব্যাসার্ধ R)} longleftrightarrow ext{Type IIB (ব্যাসার্ধ } alpha’/R)
]

একইভাবে হেটেরোটিক ( ext{SO}(32)) এবং হেটেরোটিক (E_8 imes E_8)-এর মধ্যেও টি-ডুয়ালিটি নিখুঁত সেতু তৈরি করে। অর্থাৎ আপাতদৃষ্টিতে ভিন্ন তত্ত্বগুলো মূলত একই মৌলিক সত্যের ভিন্ন ভিন্ন জ্যামিতিক রূপ মাত্র।

শাকিল মাহমুদ সজল

শাকিল মাহমুদ সজল

সফটওয়্যার প্রকৌশলী ও লেখক, ঢাকা, বাংলাদেশ। কম্পিউটার বিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, ইতিহাস ও ভাবনার সমন্বয়ে ব্যক্তিগত নোট ও প্রবন্ধ সংকলন।