সাধারণ কোয়ান্টাম ফিল্ড থিওরিতে যেকোনো হিসাবের ভিত্তি হলো কাপলিং কনস্ট্যান্টের মান ক্ষুদ্র ((g ll 1)) হওয়া। কিন্তু যখন মিথস্ক্রিয়া অত্যন্ত শক্তিশালী হয়ে ওঠে ((g gg 1)), তখন সমস্ত সমীকরণ ভেঙে পড়ে এবং কোয়ার্ক কনফাইনমেন্টের মতো ঘটনাগুলো সাধারণ পদ্ধতিতে সমাধান করা অসম্ভব হয়ে যায়। এস-ডুয়ালিটি (S-Duality বা Strong-Weak Duality) এই চরম প্রাচীর ভেঙে দিয়েছে: এটি প্রমাণ করে যে একটি তত্ত্বের অসম্ভব শক্তিশালী কাপলিং অবস্থা আসলে অপর একটি সহজ ডুয়াল তত্ত্বের অত্যন্ত দুর্বল কাপলিং অবস্থার হুবহু সমতুল্য। এই পর্বে আমরা মনটোনেন-অলিভ ডুয়ালিটি এবং টাইপ IIB স্ট্রিংয়ের সেলফ-ডুয়ালিটি বিশ্লেষণ করব।

১. ডিরাক শর্ত ও মনটোনেন-অলিভ ডুয়ালিটি

১৯৩১ সালে পল ডিরাক প্রমাণ করেন যে মহাবিশ্বে একটিমাত্র চৌম্বক মনোপোল ((g_m)) থাকলে তড়িৎ চার্জের কোয়ান্টাইজেশন ব্যাখ্যা করা যায়:

[
q_e g_m = 2pi n hbar
]

১৯৭৭ সালে মনটোনেন এবং অলিভ প্রস্তাব করেন যে (mathcal{N}=4) সুপার ইয়াং-মিলস তত্ত্বে তড়িৎ চার্জ এবং চৌম্বক মনোপোল পরস্পরের সম্পূর্ণ প্রতিসম। জটিল কাপলিং ( au quiv rac{ heta}{2pi} + rac{4pi i}{g_{ ext{YM}}^2}) মডুলার গ্রুপ ( ext{SL}(2, mathbb{Z})) মেনে চলে। ফলে ইনভার্সন রূপান্তরে:

[
g_{ ext{YM}} longleftrightarrow rac{4pi}{g_{ ext{YM}}}
]

অর্থাৎ মূল সিস্টেমে যখন মিথস্ক্রিয়া অসীম শক্তিশালী ((g o infty)), তখন বিপরীত সিস্টেমে মিথস্ক্রিয়া শূন্যের কাছাকাছি নেমে আসে (( ilde{g} o 0))! ফলে কঠিন সব হিসাব সহজ পদ্ধতিতে নিমেষে সমাধান করা যায়।

২. টাইপ IIB সুপারস্ট্রিংয়ের সেলফ-ডুয়ালিটি (Self-Duality)

১০-মাত্রিক টাইপ IIB তত্ত্বে অ্যাক্সিয়ন ((C_0)) এবং ডাইলাটন ((Phi)) একত্রে জটিল মডুলাস তৈরি করে:

[
au = C_0 + rac{i}{g_s}
]

এস-রূপান্তরের অধীনে যখন (g_s o 1/g_s) হয়, তখন টাইপ IIB তত্ত্বটি নিজের ভেতরেই রূপান্তরিত থাকে (Self-Dual)। এই প্রক্রিয়ায়:

  • মৌলিক স্ট্রিং (( ext{F}1)) একটি ডি-স্ট্রিংয়ে (( ext{D}1)) রূপ নেয়।
  • D3-ব্রেন সম্পূর্ণরূপে অপরিবর্তিত থাকে।

৩. হেটেরোটিক ও টাইপ I-এর এস-ডুয়ালিটি

১৯৯৫ সালে এডওয়ার্ড উইটেন প্রমাণ করেন যে হেটেরোটিক ( ext{SO}(32)) তত্ত্বের অসীম শক্তিশালী কাপলিং অবস্থা হলো টাইপ I ওপেন স্ট্রিং তত্ত্বের দুর্বল কাপলিং অবস্থার হুবহু সমতুল্য:

[
ext{Heterotic } ext{SO}(32) longleftrightarrow ext{Type I}
]

এর ফলে পদার্থবিজ্ঞানীরা বুঝতে পারেন যে কোয়ান্টাম মহাকর্ষে কোনো অন্ধ গলি নেই—যেকোনো তীব্র জটিল ক্ষেত্রকে ডুয়ালিটির আয়নায় একটি সহজ সমীকরণে রূপান্তর করা সম্ভব।

শাকিল মাহমুদ সজল

শাকিল মাহমুদ সজল

সফটওয়্যার প্রকৌশলী ও লেখক, ঢাকা, বাংলাদেশ। কম্পিউটার বিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, ইতিহাস ও ভাবনার সমন্বয়ে ব্যক্তিগত নোট ও প্রবন্ধ সংকলন।