জিরো-নলেজ প্রুফ, ভেরিফায়েবল কম্পিউটেশন এবং ব্লকচেইন রোল-আপের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক হাতিয়ার হলো কমিটমেন্ট স্কিম (Commitment Scheme)। এটি মূলত একটি ডিজিটাল সিন্দুকের মতো: আপনি আপনার গোপন তথ্য একটি তালাবদ্ধ বাক্সে ভরে ভেরিফায়ারকে জমা দেবেন। ভেরিফায়ার বাক্স দেখে ভেতরে কী আছে তা জানতে পারবে না, কিন্তু পরে যখন আপনি চাবি দিয়ে বাক্সটি খুলবেন, তখন আপনি ভেতরের তথ্য পরিবর্তন করতে পারবেন না। আধুনিক প্রুফ সিস্টেমে এটি আরও এক ধাপ এগিয়ে পলিনোমিয়াল কমিটমেন্ট স্কিমে (PCS) রূপ নিয়েছে—যেখানে লাখ লাখ পদের একটি সম্পূর্ণ বহুপদী সমীকরণকে মাত্র ৪৮ বাইটের একটি বিন্দুতে সিল করে রাখা যায়।
১. হাইডিং ও বাইন্ডিং বৈশিষ্ট্যের দ্বৈরথ
যেকোনো নিরাপদ কমিটমেন্ট স্কিমকে দুটি বিপরীতমুখী গাণিতিক শর্ত পূরণ করতে হয়:
- হাইডিং (Hiding – গোপনীয়তা): কমিটমেন্ট (C = ext{Commit}(m; r)) দেখে গোপন বার্তা (m) সম্পর্কে কোনো তথ্য জানা যাবে না। ইনফরমেশন-থিওরেটিক হাইডিংয়ে অসীম ক্ষমতাধর সুপারকম্পিউটারও কোনো তথ্য উদ্ধার করতে পারে না।
- বাইন্ডিং (Binding – অপরিবর্তনীয়তা): কমিট করার পর প্রুভার অন্য কোনো ভিন্ন বার্তা (m’
eq m)-এর জন্য কমিটমেন্টটি বৈধ প্রমাণ করতে পারবে না। অর্থাৎ নিজের দেওয়া কথায় অটল থাকতে হবে।
তথ্য তত্ত্বের মৌলিক সীমাবদ্ধতা অনুযায়ী, কোনো স্কিম একই সাথে নিখুঁত হাইডিং এবং নিখুঁত বাইন্ডিং হতে পারে না; যেকোনো একটি নিখুঁত হলে অপরটি হবে কম্পিউটেশনাল (অর্থাৎ ভাঙতে বহুপদী সময়ের বেশি লাগবে)।
২. পেডারসেন কমিটমেন্ট স্কিম (Pedersen Commitment)
১৯৯১ সালে টরবেন পেডারসেন উপবৃত্তাকার বক্ররেখার ওপর ভিত্তি করে একটি মার্জিত স্কিম উদ্ভাবন করেন। (q) প্রাইম অর্ডারের গ্রুপে দুটি স্বাধীন জেনারেটর (g, h) নেওয়া হয় যাদের ডিসক্রিট লগারিদম (log_g h) কারো জানা নেই। বার্তা (m)-কে কমিট করতে একটি র্যান্ডম ব্লাইন্ডিং ফ্যাক্টর (r) নিয়ে হিসাব করা হয়:
[
C = [m]g + [r]h in G
]
পেডারসেন কমিটমেন্টের মূল বৈশিষ্ট্যসমূহ:
- পারফেক্ট হাইডিং: (r)-এর মান সম্পূর্ণ সমবণ্টনে থাকায় (C) গ্রুপের যেকোনো বিন্দু সমান সম্ভাবনায় ধারণ করতে পারে। ফলে অসীম ক্ষমতাসম্পন্ন অ্যালগরিদমও (m) বের করতে পারে না।
- কম্পিউটেশনাল বাইন্ডিং: যদি কেউ একই কমিটমেন্টের জন্য ভিন্ন বার্তা (m’) এবং (r’) বের করতে পারে, তবে সে মূলত উপবৃত্তাকার বক্ররেখার ডিসক্রিট লগারিদম (log_g h = (m – m’)(r’ – r)^{-1}) সমাধান করে ফেলবে, যা গণিতবিদদের মতে অসম্ভব।
- যোগাশ্রয়ী হোমোরফিজম (Additive Homomorphism): দুটি কমিটমেন্ট যোগ করলে সরাসরি তাদের ভেতরের বার্তার যোগফল কমিট হয়ে যায়:
[
C_1 + C_2 = [m_1 + m_2]g + [r_1 + r_2]h
]
এই বৈশিষ্ট্যের কারণে মনেরো (Monero) বা গোপনীয় লেনদেনে ব্যাংকের অডিট করা যায় লেনদেনের আসল টাকার অঙ্ক না দেখেই।
৩. পলিনোমিয়াল কমিটমেন্ট: কেজেডজি (KZG) স্কিম
পেডারসেন কেবল একটি সংখ্যার জন্য কাজ করে, কিন্তু আধুনিক zk-SNARK-এ হাজার হাজার সহগের সমন্বয়ে গঠিত বহুপদী (P(X))-এর কমিটমেন্ট দরকার হয়। ২০১০ সালে কেট, জাভেরুচা এবং গোল্ডবার্গ পেয়ারিং ব্যবহার করে আবিষ্কার করেন KZG স্কিম:
- ট্রাস্টেড সেটআপ: একটি গোপন সংখ্যা ( au)-এর ঘাতগুলো গ্রুপ উপাদানে রূপান্তর করে রেফারেন্স স্ট্রিং তৈরি করা হয়:
[
ext{SRS} = Big( g_1, [ au]g_1, [ au^2]g_1, dots, [ au^d]g_1, g_2, [ au]g_2 Big)
]
এরপর মূল ( au) চিরতরে ধ্বংস করে ফেলা হয় (Toxic Waste)। - কমিটমেন্ট: (P(X)) পলিনোমিয়ালের কমিটমেন্ট (C in G_1) তৈরি করা হয় ( au) না জেনেই কেবল মাল্টি-স্কেলার যোগের মাধ্যমে:
[
C = [P( au)]_1 in G_1
] - ওপেনিং ও প্রুফ: প্রুভার দাবি করে যে (P(z) = y)। পলিনোমিয়াল ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী (P(X) – y) রাশিটি ((X – z)) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য:
[
Q(X) = rac{P(X) – y}{X – z}
]
প্রুভার ভাগফল বহুপদীর ওপর প্রুফ পাঠায়: (pi = [Q( au)]_1 in G_1)। - যাচাইকরণ: ভেরিফায়ার একটিমাত্র পেয়ারিং চেক করে পুরো দাবির সত্যতা নিশ্চিত করে:
[
eleft( C – [y]_1, g_2
ight) stackrel{?}{=} eleft( pi, [ au]_2 – [z]_2
ight)
]
KZG-এর সবচেয়ে বড় অলৌকিকতা হলো: পলিনোমিয়ালের ডিগ্রি ১০ হোক বা ১ কোটি হোক, কমিটমেন্ট (C) এবং প্রুফ (pi) উভয়ই মাত্র একটি একক বিন্দুর (৪৮ বাইট) সমান থাকে এবং ভেরিফাই করতে সময় লাগে মাত্র কয়েক মিলিসেকেন্ড।
