বর্তমান বিশ্বের তাবৎ ব্যাংক লেনদেন, গোপন চ্যাট এবং রাষ্ট্রীয় নিরাপত্তার মূল ভরসা (RSA, ECC, Diffie-Hellman) একটি ভয়াবহ অভিন্ন গাণিতিক দুর্বলতার ওপর দাঁড়িয়ে আছে: তারা সকলেই কাজ করে অ্যাবিলিয়ান গ্রুপের ডিসক্রিট লগারিদম বা প্রাইম উৎপাদক বিশ্লেষণের ওপর। ১৯৯৪ সালে পিটার শোর প্রমাণ করেন যে, একটি বাস্তব কোয়ান্টাম কম্পিউটার তার কোয়ান্টাম ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম (QFT) ব্যবহার করে এই সমস্ত সমস্যা বহুপদী সময়ে ((mathcal{O}(n^3))) সমাধান করে ফেলতে পারে। এই কোয়ান্টাম মহাপ্রলয় থেকে বাঁচতেই আধুনিক ক্রিপ্টোগ্রাফি পা রেখেছে ল্যাটিস-ভিত্তিক ক্রিপ্টোগ্রাফিতে (Lattice-Based Cryptography)।
১. শোরের অ্যালগরিদম ও কোয়ান্টাম হুমকি
শোরের অ্যালগরিদম মূলত অ্যাবিলিয়ান হিডেন সাবগ্রুপ প্রবলেমের (HSP) দুর্বলতাকে আঘাত করে। সাধারণ কম্পিউটারে কোনো ফাংশনের পর্যায়কাল (r) বের করতে কোটি কোটি বছর লাগলেও কোয়ান্টাম সুপারপজিশন ও কোয়ান্টাম ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের সাহায্যে ডেস্ট্রাক্টিভ ইন্টারফেয়ারেন্স ঘটিয়ে এক নিমেষে পর্যায়কাল (r) বের করে ফেলা যায়:
[
|psi
angle = rac{1}{sqrt{Q}} sum_{x=0}^{Q-1} |x
angle |a^x bmod N
angle xrightarrow{ ext{QFT}} ext{পর্যায়কাল } r ext{ প্রকাশ পায়}
]
(r) পাওয়া মাত্র ইউক্লিডিয়ান অ্যালগরিদম দিয়ে RSA মডুলাসের মৌলিক উৎপাদক (p) ও (q) বের হয়ে আসে। মাত্র ৪,০০০ লজিক্যাল কিউবিটের একটি কোয়ান্টাম কম্পিউটার কয়েক ঘণ্টার মধ্যে বিশ্বের সমস্ত ২০৪৮-বিট RSA এনক্রিপশন ভেঙে গুঁড়িয়ে দিতে পারে।
২. ল্যাটিস জ্যামিতি: SVP এবং CVP সমস্যা
একটি ল্যাটিস (Lambda subset mathbb{R}^n) হলো (n)-মাত্রিক জগতে স্বাধীন বেসিস ভেক্টরগুলোর পূর্ণসংখ্যা গুণনের একটি অসীম কিন্তু সুষম বিন্দুর জালিকা:
[
Lambda = left{ sum_{i=1}^n z_i mathbf{b}_i middle| z_i in mathbb{Z}
ight}
]
উচ্চ মাত্রায় ((n ge 500)) ল্যাটিসের জ্যামিতিক সমস্যাগুলো সাধারণ বা কোয়ান্টাম কোনো কম্পিউটারেই বহুপদী সময়ে সমাধান করা যায় না:
- শর্টেস্ট ভেক্টর প্রবলেম (SVP): ল্যাটিসের মূলবিন্দুর সবচেয়ে কাছের অশূন্য বিন্দুটি ((lambda_1)) খুঁজে বের করা। মিনকোভস্কির উপপাদ্য এর অস্তিত্ব প্রমাণ করলেও উচ্চ মাত্রায় এটি বের করা চরম কঠিন।
- ক্লোজেস্ট ভেক্টর প্রবলেম (CVP): মহাশূন্যের যেকোনো একটি লক্ষ্য বিন্দুর সবচেয়ে নিকটবর্তী ল্যাটিস বিন্দুটি খুঁজে বের করা।
ল্যাটিসে কোনো পর্যায়বৃত্ত গ্রুপ কাঠামো না থাকায় শোরের অ্যালগরিদম এখানে কাজ করে না। ফলে ল্যাটিস গণিত হলো কোয়ান্টাম-পরবর্তী বিশ্বের প্রধান প্রতিরক্ষা দুর্গ।
৩. লার্নিং উইথ এররস (LWE) ও রেগেভের উপপাদ্য
২০০৫ সালে ওদেদ রেগেভ উদ্ভাবন করেন লার্নিং উইথ এররস (LWE) সমস্যা, যা আজকের পোস্ট-কোয়ান্টাম ক্রিপ্টোগ্রাফি এবং হোমোরফিক এনক্রিপশনের প্রধান গাণিতিক ইঞ্জিন।
ধরা যাক গোপন চাবি হলো একটি ভেক্টর (mathbf{s})। আক্রমণকারীকে সমীকরণ দেওয়া হয়:
[
mathbf{A} mathbf{s} + mathbf{e} = mathbf{b} pmod q
]
এখানে যদি কোনো এরর বা ত্রুটি (mathbf{e}) না থাকত, তবে যেকোনো স্কুলছাত্র গাউসিয়ান এলিমিনেশন দিয়ে কয়েক সেকেন্ডে (mathbf{s}) বের করে ফেলত। কিন্তু প্রতি সমীকরণে যদি সামান্য একটু গসীয় র্যান্ডম নয়েজ (e_i) যোগ করে দেওয়া হয়, তবে সেই সমীকরণ সমাধান করা গাণিতিকভাবে অসম্ভব হয়ে ওঠে।
রেগেভের উপপাদ্য প্রমাণ করে যে: LWE ভাঙতে পারা মানে হলো উচ্চ-মাত্রার ল্যাটিসের সবচেয়ে কঠিন সমস্যাটি সমাধান করে ফেলা। এই শক্তিশালী গ্যারান্টির কারণেই NIST তাদের পোস্ট-কোয়ান্টাম স্ট্যান্ডার্ড হিসেবে ল্যাটিস ক্রিপ্টোগ্রাফিকে গ্রহণ করেছে।
