যখন একটি সম্পূর্ণ ব্লকচেইনের ১০ বছরের ইতিহাস বা শত কোটি প্যারামিটারের একটি কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তা মডেলকে জিরো-নলেজে প্রমাণ করতে হয়, তখন একটিমাত্র দানবীয় প্রমাণ তৈরি করা কম্পিউটারের স্মৃতির বাইরে চলে যায়। ২০০৮ সালে পল ভ্যালিয়েন্ট প্রবর্তন করেন ইনক্রিমেন্টাল ভেরিফায়েবল কম্পিউটেশন (IVC): যেখানে একটি প্রমাণ (pi_i) সাক্ষ্য দেয় যে বর্তমান ধাপটি নির্ভুল এবং এর আগের ধাপের প্রমাণ (pi_{i-1})-ও শতভাগ বৈধ ছিল। এই অধ্যায়ে আমরা দেখব কীভাবে কার্ভ সাইকেল (Pasta curves) থেকে যাত্রা শুরু করে ক্রিপ্টোগ্রাফি আজ অবহিরম কোথাপাল্লি ও শ্রীনাথ শেঠির বৈপ্লবিক Nova ফোল্ডিং স্কিমে এসে পৌঁছেছে।

১. ক্লাসিক্যাল রিকার্সিভ SNARK ও ফিল্ডের অসঙ্গতি

একটি প্রমাণের ভেতরে আরেকটি প্রমাণ যাচাই করতে হলে সার্কিটের ভেতর আস্ত একটি SNARK ভেরিফায়ার কোড চালাতে হয়। কিন্তু এখানে এক বিশাল গাণিতিক সমস্যা বাঁধে: Field Mismatch Problem।

একটি কার্ভের স্কেলার ফিল্ড (mathbb{F}_q) হলে তার পয়েন্টগুলো থাকে বেস ফিল্ড (mathbb{F}_p)-তে। ফলে সার্কিটের ভেতরের ফিল্ড এবং বাইরের ফিল্ডের মধ্যে সংঘর্ষ বাঁধে। এর সমাধানে আবিষ্কৃত হয় কার্ভের সাইকেল (Cycles of Curves – যেমন Pallas ও Vesta):

[
#E_1(mathbb{F}_p) = q quad ext{এবং} quad #E_2(mathbb{F}_q) = p
]

একটি কার্ভের স্কেলার ফিল্ড অন্যটির বেস ফিল্ড হওয়ায় তারা একে অপরকে কোনো বাড়তি খরচ ছাড়াই পর্যায়ক্রমে যাচাই করে যেতে পারে (যেমন মিনা প্রোটোকল ও Halo2)।

২. Nova ফোল্ডিং স্কিম: ভেরিফায়ার সার্কিটের চিরবিদায়

কার্ভ সাইকেল থাকলেও প্রতি ধাপে একটি সম্পূর্ণ ভেরিফায়ার চালাতে গিয়ে প্রায় ৫০,০০০টি জটিল গেটের অপচয় হতো। ২০২১ সালে Nova এই ধারণাকে বদলে দিয়ে উদ্ভাবন করে ফোল্ডিং স্কিম (Folding Scheme)।

প্রতি ধাপে SNARK প্রমাণ তৈরি ও যাচাই না করে, Nova একই আকারের দুটি সমীকরণকে ভাঁজ (fold) করে একটি একক সমীকরণে রূপান্তর করে, এবং জটিল প্রমাণ তৈরির কাজটি সবার শেষের জন্য জমিয়ে রাখে। Nova-এর ভিত্তি হলো Relaxed R1CS:

[
A z circ B z = u cdot C z + E
]

যেখানে (u) হলো একটি স্কেলার এবং (E) হলো একটি স্ল্যাক ভেক্টর। দুটি ইনস্ট্যান্সকে ভাঁজ করার নিয়ম:

  1. ভেরিফায়ার একটি চ্যালেঞ্জ (r leftarrow mathbb{F}_p) পাঠায়।
  2. প্রুভার সাধারণ ভেক্টর স্কেলিং দিয়ে উইটনেসকে ভাঁজ করে:
    [
    W_{f} = W_1 + r W_2, quad E_{f} = E_1 + r T + r^2 E_2, quad u_{f} = u_1 + r u_2
    ]

তৈরি হওয়া নতুন ইনস্ট্যান্সটিও অবিকল Relaxed R1CS নিয়ম মেনে চলে! এতে কোনো ভারী ক্রিপ্টোগ্রাফিক অ্যালগরিদম নেই—কেবল সাধারণ ভেক্টর যোগ। এর ফলে রিকার্সনের প্রতি ধাপের খরচ ৫০,০০০ গেট থেকে নেমে মাত্র ২,০০০ গেটে পৌঁছায়, যা গতি বাড়িয়ে দেয় বহুগুণ।

৩. HyperNova ও মাল্টি-ফোল্ডিং দিগন্ত

২০২৩ সালে আবিষ্কৃত HyperNova এই ফোল্ডিং টেকনিককে উচ্চ-মাত্রার Plonkish গেট এবং পলিনোমিয়াল সাম-চেক প্রোটোকলে বিস্তৃত করেছে। এর ফলে আজ যেকোনো গভীরতার দীর্ঘ কম্পিউটেশনকে স্মার্টফোনেই রিকার্সিভলি প্রমাণ করা সম্ভব হচ্ছে।

Tagged with: #Nova #zk-STARKs #ক্রিপ্টোগ্রাফি #জিরো-নলেজ প্রুফ #পোস্ট-কোয়ান্টাম #ল্যাটিস ক্রিপ্টোগ্রাফি
শাকিল মাহমুদ সজল

শাকিল মাহমুদ সজল

সফটওয়্যার প্রকৌশলী ও লেখক, ঢাকা, বাংলাদেশ। কম্পিউটার বিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, ইতিহাস ও ভাবনার সমন্বয়ে ব্যক্তিগত নোট ও প্রবন্ধ সংকলন।