কয়েক দশক ধরে উপবৃত্তাকার বক্ররেখাকে কেবল একটি সাধারণ গ্রুপ হিসেবে দেখা হতো যেখানে ডিসক্রিট লগারিদম ভাঙা কঠিন। কিন্তু ২০০০-এর দশকের শুরুতে এক যুগান্তকারী পরিবর্তন ঘটে: বীজগাণিতিক জ্যামিতির বাই-লিনিয়ার পেয়ারিং (Bilinear Pairings) ব্যবহার করে ক্রিপ্টোগ্রাফাররা সম্পূর্ণ নতুন দিগন্তের সূচনা করেন। পেয়ারিংয়ের মাধ্যমে জন্ম নেয় আইডেনটিটি-ভিত্তিক এনক্রিপশন (IBE), BLS স্বাক্ষর সমষ্টিকরণ (Aggregation) এবং আধুনিক zk-SNARKs-এর পলিনোমিয়াল কমিটমেন্ট স্কিম।
১. বাই-লিনিয়ার ম্যাপিংয়ের গাণিতিক সংজ্ঞা
ধরা যাক (G_1, G_2) হলো (r) প্রাইম অর্ডারের দুটি যোগাশ্রয়ী গ্রুপ এবং (G_T) হলো একই অর্ডারের একটি গুণাশ্রয়ী গ্রুপ। একটি বাই-লিনিয়ার ম্যাপ (Pairing) হলো এমন একটি ফাংশন:
[
e: G_1 imes G_2 o G_T
]
যা তিনটি মৌলিক শতসিদ্ধ পূরণ করে:
- বাই-লিনিয়ারিটি (Bilinearity): যেকোনো (P in G_1, Q in G_2) এবং স্কেলার (a, b in mathbb{Z}_r)-এর জন্য:
[
e([a]P, [b]Q) = e(P, Q)^{ab} = e([b]P, [a]Q)
] - নন-ডিজেনারেসি (Non-Degeneracy): (P) এবং (Q) যদি গ্রুপ জেনারেটর হয়, তবে (e(P, Q)
eq 1)। - গণনাযোগ্যতা (Computability): একটি বহুপদী-সময়ের দক্ষ অ্যালগরিদম দ্বারা (e(P, Q)) সহজে নির্ণয়যোগ্য হতে হবে।
আধুনিক ক্রিপ্টোগ্রাফিতে প্রধানত Type 3 (অ্যাসিমেট্রিক) পেয়ারিং (যেমন BN254 এবং BLS12-381) ব্যবহৃত হয়, যেখানে (G_1
eq G_2) এবং কোনো দিক থেকেই রূপান্তর সম্ভব নয়। এটি সর্বোচ্চ গতি এবং ক্ষুদ্রতম প্রুফ সাইজ প্রদান করে।
২. ওয়েইল ও টেইট পেয়ারিং এবং মিলারের অ্যালগরিদম
অ্যালজেব্রাইক জ্যামিতিতে ডিভাইনর থিওরি থেকে ওয়েইল পেয়ারিং (Weil Pairing) গঠিত হয়। (r)-টরশন বিন্দুর জন্য এমন একটি মূলদ ফাংশন (f_P) থাকে যার ডিভিসর ( ext{div}(f_P) = r(P) – r(mathcal{O}))। ওয়েইল পেয়ারিং ডিভিসরের ওপর ফাংশনের অনুপাত হিসাব করে:
[
e_W(P, Q) = rac{f_P(D_Q)}{f_Q(D_P)} in mu_r subset mathbb{F}_{q^k}^*
]
যেখানে (k) হলো এমবেডিং ডিগ্রি। ব্যবহারিক জীবনে ওয়েইল পেয়ারিংয়ের চেয়ে দ্রুতগতির রিডিউসড টেইট পেয়ারিং (Reduced Tate Pairing) ব্যবহৃত হয়:
[
e_{ ext{Tate}}(P, Q) = left( f_{r, P}(Q)
ight)^{rac{q^k – 1}{r}}
]
১৯৮৬ সালে ভিক্টর মিলার আবিষ্কার করেন মিলারের অ্যালগরিদম (Miller’s Algorithm)। এটি ডাবল-অ্যান্ড-অ্যাড পদ্ধতির মতো কর্ড ও ট্যানজেন্ট রেখাগুলোকে ক্রমান্বয়ে গুণ করে মাত্র (mathcal{O}(log r)) ধাপে অত্যন্ত দ্রুত পেয়ারিং মান হিসাব করতে পারে।
৩. BLS ডিজিটাল স্বাক্ষর ও নন-ইন্টারেক্টিভ অ্যাগ্রিগেশন
২০০১ সালে ড্যান বোনেহ, বেন লিন এবং হোভাব শাচাম উদ্ভাবন করেন BLS সিগনেচার। এটি আধুনিক ক্রিপ্টোগ্রাফির অন্যতম সংক্ষিপ্ত স্বাক্ষর এবং ইথেরিয়াম ২.০ ব্লকচেইনের লাখ লাখ ভ্যালিডেটরের ঐকমত্যের মূল ভিত্তি:
- কি তৈরি: গোপন চাবি (x leftarrow mathbb{Z}_r^*)। পাবলিক কি হলো (pk = [x]g_2 in G_2)।
- স্বাক্ষর প্রদান: বার্তাকে কার্ভের বিন্দুতে হ্যাশ করে (H(m) in G_1)। স্বাক্ষর হলো:
[
sigma = [x] H(m) in G_1
] - যাচাইকরণ: একটিমাত্র পেয়ারিং সমীকরণ পরীক্ষা করা:
[
e(sigma, g_2) stackrel{?}{=} e(H(m), pk)
]
স্বাক্ষর সমষ্টিকরণ (Aggregation): যদি (n) জন ব্যক্তি বিভিন্ন বার্তায় স্বাক্ষর করেন, তবে যেকোনো ব্যক্তি কেবল গ্রুপ যোগের মাধ্যমে একটিমাত্র সম্মিলিত স্বাক্ষর তৈরি করতে পারেন: (sigma_{ ext{agg}} = sum_{i=1}^n sigma_i)। ভেরিফায়ার এক নিমেষে সব স্বাক্ষর একসাথে যাচাই করতে পারেন:
[
e(sigma_{ ext{agg}}, g_2) = prod_{i=1}^n e(H(m_i), pk_i)
]
হাজার হাজার মানুষের স্বাক্ষর যোগ করার পরও সম্মিলিত স্বাক্ষরের আকার এক বিন্দুও বাড়ে না (BLS12-381 কার্ভে মাত্র ৪৮ বাইট থাকে), যা ব্লকচেইনের ব্যান্ডউইথ সাশ্রয়ে এক বৈপ্লবিক আশীর্বাদ।
