আধুনিক ক্রিপ্টোগ্রাফি ও জিরো-নলেজ প্রুফ (পর্ব ১৩): সার্বজনীন zk-SNARKs: Plonk, পারমিউটেশন আর্গুমেন্ট ও Plookup লুকআপ টেবিল

Groth16 প্রোটোকল প্রুফ সাইজে সেরা হলেও এর সবচেয়ে বড় দুর্বলতা ছিল: প্রতিবার সার্কিটে একটিমাত্র গেট পরিবর্তন করলে পুরো ট্রাস্টেড সেটআপ পুনরায় আয়োজন করতে হতো। ২০১৯ সালে অ্যারিয়েল গ্যাবিজোন, জ্যাকারি উইলিয়ামসন এবং ওয়ানা সিওবোটরু প্রকাশ করেন Plonk। এটি জিরো-নলেজ প্রুফের জগতে এক বিশাল বিপ্লব ডেকে আনে: এতে একটিমাত্র সার্বজনীন ও আপডেটযোগ্য রেফারেন্স স্ট্রিং (Universal SRS) দিয়ে পৃথিবীর যেকোনো প্রোগ্রাম প্রমাণ করা যায়, এবং এর মূল ভিত্তি হলো একটি যুগান্তকারী পারমিউটেশন আর্গুমেন্ট।

১. Plonk গেট অ্যারিথমেটাইজেশন

R1CS-এর মতো জটিল ম্যাট্রিক্স সমীকরণের বদলে Plonk পুরো প্রোগ্রামকে সাজায় রুটস অব ইউনিটি (mathbb{H})-এর ওপর ৩টি তারের স্তম্ভে: বাম ((a_i)), ডান ((b_i)) এবং আউটপুট ((c_i))। প্রতিটি সারি নিয়ন্ত্রিত হয় ৫টি সিলেক্টর বহুপদী দ্বারা:

[
q_L(X) a(X) + q_R(X) b(X) + q_O(X) c(X) + q_M(X) a(X) b(X) + q_C(X) = 0 pmod{Z_{mathbb{H}}(X)}
]

এই সমীকরণটি অবিশ্বাস্য রকমের নমনীয়:

• যোগের গেট: (q_L = 1, q_R = 1, q_O = -1, q_M = 0, q_C = 0 implies a_i + b_i – c_i = 0)।
• গুণের গেট: (q_L = 0, q_R = 0, q_O = -1, q_M = 1, q_C = 0 implies a_i cdot b_i – c_i = 0)।
• কাস্টম গেট (TurboPlonk): ইলিপ্টিক কার্ভ যোগ বা হ্যাশ ফাংশনের জটিল সমীকরণকে হাজারটা গেটে না ভেঙে একটিমাত্র সারিতে সরাসরি মূল্যায়ন করা যায়।

২. পারমিউটেশন আর্গুমেন্ট ও কপি কনস্ট্রেইন্ট

প্রতিটি গেট সঠিক উত্তর দিলেও একটি গেটের আউটপুট তার যে অন্য গেটের ইনপুট তারের সাথে যুক্ত তা নিশ্চিত করবে কে? Plonk-এ এই তারের সংযোগ (Copy Constraints) রক্ষা করা হয় একটি পারমিউটেশন (sigma)-এর মাধ্যমে, যার নাম গ্র্যান্ড প্রোডাক্ট আর্গুমেন্ট (Grand Product Argument)।

ভেরিফায়ারের র্যান্ডম চ্যালেঞ্জ (beta, gamma) ব্যবহার করে প্রুভার একটি অ্যাকিউমুলেটর বহুপদী (Z(X)) তৈরি করে:

[
Z(omega X) = Z(X) cdot rac{(a(X) + beta X + gamma)(b(X) + beta k_1 X + gamma)(c(X) + beta k_2 X + gamma)}{(a(X) + beta S_{sigma 1}(X) + gamma)(b(X) + beta S_{sigma 2}(X) + gamma)(c(X) + beta S_{sigma 3}(X) + gamma)}
]

যদি কোনো তারের মান সংযোগের নিয়ম না মেনে বদলানো হয়, তবে পুরো গুণফলটি ভেঙে পড়ে এবং ভেরিফায়ার তাৎক্ষণিক প্রতারণা শনাক্ত করে।

৩. Plookup ও লুকআপ টেবিল প্রযুক্তি

বিটওয়াইজ অপারেশন (যেমন XOR, বিট-শিফট) অ্যারিথমেটিক সার্কিটে চালানো অত্যন্ত অপচয়মূলক; একটিমাত্র SHA-256 হ্যাশ চালাতেই হাজার হাজার গেট নষ্ট হতো। ২০২০ সালে গ্যাবিজোন ও উইলিয়ামসন তৈরি করেন Plookup: যার মাধ্যমে প্রুভার প্রমাণ করতে পারে যে তার তারের মানগুলো আগে থেকে সংরক্ষিত একটি সঠিক লুকআপ টেবিলে ((t_j)) বিদ্যমান। এর ফলে জটিল গণনা না করে সরাসরি টেবিল থেকে মান মিলিয়ে ফেলা যায়, যা ZK প্রুফের গতি ১০ থেকে ২০ গুণ বাড়িয়ে দেয়।

শাকিল মাহমুদ সজল

সফটওয়্যার প্রকৌশলী ও লেখক, ঢাকা, বাংলাদেশ। কম্পিউটার বিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, ইতিহাস ও ভাবনার সমন্বয়ে ব্যক্তিগত নোট ও প্রবন্ধ সংকলন।