স্বাভাবিক আলোর তীব্রতায় কাচ বা বায়ুর মতো স্বচ্ছ মাধ্যম রৈখিকভাবে আচরণ করে—অর্থাৎ মাধ্যমের অভ্যন্তরীণ পরমাণুর পোলারাইজেশন (mathbf{P}) আপতিত আলোর তড়িৎ ক্ষেত্র (mathbf{E})-এর সাথে পুরোপুরি সমানুপাতিক থাকে। কিন্তু যখন তীব্র লেজার রশ্মি ((|mathbf{E}| sim ১০^৭ ext{–}১০^{১০} ext{ V/m})) কোনো মাধ্যমে প্রবেশ করে, তখন ইলেকট্রন মেঘ পরমাণুর সাধারণ কুলম্ব বাঁধন অতিক্রম করে অসমমিত ও অ-রৈখিকভাবে স্পন্দিত হতে থাকে। এটি সৃষ্টি করে নন-লিনিয়ার অপটিক্যাল পোলারাইজেশন, যার মাধ্যমে আলোর কম্পাঙ্ক দ্বিগুণ (ফ্রিকোয়েন্সি ডাবলিং) বা আলোকের নতুন ফোটন জোড় তৈরি করা সম্ভব হয়।
১. নন-লিনিয়ার পোলারাইজেশনের বিস্তার
তীব্র তড়িৎ ক্ষেত্রের উপস্থিতিতে মাধ্যমের মোট ম্যাক্রোস্কোপিক পোলারাইজেশনকে তড়িৎ ক্ষেত্রের ঘাত আকারে প্রকাশ করা হয়:
[
mathbf{P}(t) = psilon_0 left[ chi^{(1)} mathbf{E}(t) + chi^{(2)} mathbf{E}^2(t) + chi^{(3)} mathbf{E}^3(t) + dots
ight]
]
এখানে (chi^{(n)}) হলো (n)-তম ক্রমের নন-লিনিয়ার সংবেদনশীলতা (Susceptibility) টেনসর। যেসব পদার্থে কেন্দ্র-প্রতিসাম্য (Inversion Symmetry) বিদ্যমান (যেমন সাধারণ কাচ, গ্যাস বা তরল), সেখানে প্রতিসাম্যের কারণে (mathbf{P}(-mathbf{E}) = -mathbf{P}(mathbf{E})) শর্তে দ্বিতীয় ক্রমের সংবেদনশীলতা পুরোপুরি শূন্য হয়ে যায় ((chi^{(2)} quiv 0))।
তাই সেকেন্ড-হারমোনিক জেনারেশন (SHG) বা ফ্রিকোয়েন্সি দ্বিগুণ করার প্রক্রিয়া কেবল সেইসব কেলাসে সম্ভব যেগুলোতে কেন্দ্র-প্রতিসাম্য অনুপস্থিত (যেমন KTP, Lithium Niobate বা BBO ক্রিস্টাল)।
২. সেকেন্ড হারমোনিক জেনারেশন ও কাপল্ড ওয়েভ সমীকরণ
ধরা যাক, (omega) কম্পাঙ্কের একটি মৌলিক আলোক তরঙ্গ কেলাসের মধ্য দিয়ে (z)-অক্ষ বরাবর অগ্রসর হচ্ছে এবং দ্বিগুণ কম্পাঙ্কের ((2omega)) একটি নতুন তরঙ্গ তৈরি করছে। ম্যাক্সওয়েলের তরঙ্গ সমীকরণ থেকে পাওয়া যায় কাপল্ড অ্যাম্প্লিটিউড সমীকরণ:
[
rac{dA_{2omega}}{dz} = i rac{omega d_{ ext{eff}}}{n_2 c} A_omega^2 e^{i Delta k z}
]
এখানে (d_{ ext{eff}}) হলো কার্যকর নন-লিনিয়ার সহগ এবং (Delta k) হলো তরঙ্গ-ভেক্টর ফেজ অমিল (Phase Mismatch):
[
Delta k = k_{2omega} – 2k_omega = rac{2omega}{c} [n(2omega) – n(omega)]
]
৩. ফেজ ম্যাচিং ও কোহেরেন্স দৈর্ঘ্য
মৌলিক তরঙ্গের তীব্রতা অপরিবর্তিত থাকলে কেলাসের (L) দূরত্ব অতিক্রমের পর উৎপন্ন দ্বিগুণ তরঙ্গের তীব্রতা দাঁড়ায়:
[
I_{2omega}(L) propto I_omega^2 L^2 operatorname{sinc}^2left(rac{Delta k L}{2}
ight)
]
স্বাভাবিক বর্ণালী বিচ্ছুরণের কারণে নীল আলোর প্রতিসরাঙ্ক লাল আলোর চেয়ে বেশি হয় ((n(2omega) > n(omega))), ফলে (Delta k
e 0)। এর ফলে নতুন তৈরি হওয়া তরঙ্গ ও পুরোনো তরঙ্গের মধ্যে দশা-পার্থক্য ঘটে শক্তি পুনরায় পেছনে ফিরে আসে। যে নির্দিষ্ট দূরত্ব পর্যন্ত আলো গঠনমূলকভাবে বৃদ্ধি পায় তাকে বলে কোহেরেন্স দৈর্ঘ্য:
[
L_{ ext{coh}} = rac{pi}{|Delta k|} = rac{lambda}{4|n(2omega) – n(omega)|}
]
৪. কোয়াসি-ফেজ ম্যাচিং (QPM)
এই সীমাবদ্ধতা দূর করার জন্য আধুনিক প্রযুক্তিতে ব্যবহার করা হয় পিরিয়ডিক্যালি পোল্ড লিথিয়াম নিওবেট (PPLN)। এতে প্রতি কোহেরেন্স দৈর্ঘ্য পর পর কেলাসের স্থায়ী বৈদ্যুতিক ডোমেনকে ১৮০ ডিগ্রি ঘুরিয়ে দেওয়া হয়। ফলে (chi^{(2)})-এর চিহ্ন উল্টে যায় এবং ধ্বংসাত্মক ব্যতিচারের বদলে পুরো কেলাস জুড়ে আলো একমুখীভাবে শক্তিবৃদ্ধি করে প্রায় ১০০% রূপান্তর দক্ষতা অর্জন করে।
