সাধারণ পদার্থবিজ্ঞানে পরমাণুর স্বতঃস্ফূর্ত ফোটন নিঃসরণকে (Spontaneous Emission) একটি স্বতঃসিদ্ধ অপরিবর্তনীয় বৈশিষ্ট্য হিসেবে গণ্য করা হয়। কিন্তু ১৯৪৬ সালে এডওয়ার্ড মিলস পার্সেল এক যুগান্তকারী সত্য উন্মোচন করেন: কোনো পরমাণু ফোটন নির্গমন করতে পারে না যদি না তার চারপাশে ফোটনটি গ্রহণ করার মতো উপযুক্ত কোয়ান্টাম শূন্যস্থান মোড থাকে। ডাই-ইলেকট্রিক মাধ্যম বা অপটিক্যাল ক্যাভিটির মাধ্যমে শূন্যস্থান কাঠামো পরিবর্তন করে নিঃসরণ হারকে হাজার গুণ বাড়িয়ে দেওয়া বা প্রায় শূন্যে নামিয়ে আনা সম্ভব—একে বলা হয় পার্সেল প্রভাব (Purcell Effect)।
১. ফার্মির গোল্ডেন রুল ও লোকাল ডেনসিটি অব স্টেটস (LDOS)
সময়-নির্ভর পার্টারবেশন তত্ত্বে একটি উত্তেজিত পরমাণুর ক্ষয় হার (Gamma_{ ext{sp}}) নিয়ন্ত্রিত হয় ফার্মির গোল্ডেন রুল দ্বারা:
[
Gamma_{ ext{sp}} = rac{2pi}{hbar^2} sum_f |langle f | hat{H}_{ ext{int}} | i
angle|^2 delta(omega_i – omega_f)
]
এটি প্রমাণ করে যে ক্ষয় হার সরাসরি স্থানীয় অপটিক্যাল স্টেট ঘনত্ব বা লোকাল ডেনসিটি অব স্টেটস (LDOS, (
ho))-এর সমানুপাতিক:
[
Gamma_{ ext{sp}}(mathbf{r}, omega_0) = rac{pi omega_0}{hbar psilon_0} |mathbf{d}|^2
ho_{mathbf{n}}(mathbf{r}, omega_0)
]
মুক্ত মহাশূন্যে (Free Space) ত্রিমাত্রিক গোলকীয় মোড সমাকলন করলে পাওয়া যায় সুপরিচিত ওয়াইসকফ-উইগনার স্বতঃস্ফূর্ত নিঃসরণ হার:
[
Gamma_0 = rac{omega_0^3 |mathbf{d}|^2}{3pi psilon_0 hbar c^3}
]
২. পার্সেল ফ্যাক্টরের গাণিতিক প্রতিপাদন
এখন পরমাণুটিকে যদি (Q) কোয়ালিটি ফ্যাক্টর এবং (V_{ ext{mode}}) কার্যকর আয়তনের একটি ক্ষুদ্র অপটিক্যাল মাইক্রোক্যাভিটির সর্বোচ্চ ফিল্ড বিন্দুতে রাখা হয়:
[
V_{ ext{mode}} = rac{int psilon(mathbf{r}) |mathbf{E}(mathbf{r})|^2 , dV}{max[psilon(mathbf{r}) |mathbf{E}(mathbf{r})|^2]}
]
রেজোন্যান্স চূড়ায় ক্যাভিটির স্টেট ঘনত্ব দাঁড়ায় (
ho_{ ext{cav}} = rac{2 Q}{pi omega_c V_{ ext{mode}}})। ক্যাভিটির নিঃসরণ হারকে মুক্ত স্থানের হার দিয়ে ভাগ করলে পাওয়া যায় পার্সেল ফ্যাক্টর ((F_P)):
[
F_P = rac{Gamma_{ ext{cav}}}{Gamma_0} = rac{3}{4pi^2} left( rac{lambda_c}{n}
ight)^3 left( rac{Q}{V_{ ext{mode}}}
ight)
]
নিঃসরণ হার নাটকীয়ভাবে বৃদ্ধি করতে হলে উচ্চ কোয়ালিটি ফ্যাক্টর ((Q)) এবং অতি-ক্ষুদ্র সাব-তরঙ্গদৈর্ঘ্য মোড ভলিউম ((V_{ ext{mode}})) নিশ্চিত করতে হয়।
৩. নিঃসরণ বৃদ্ধি বনাম পূর্ণাঙ্গ বাধা
ক্যাভিটির টিউনিং অনুসারে দুটি বিপরীতমুখী রূপ দেখা যায়:
ক. পার্সেল ত্বরণ ((F_P gg ১))
ফটোনিক ক্রিস্টাল ক্যাভিটিতে (F_P > ১০০ ext{–}১০০০) পর্যন্ত হতে পারে। এর ফলে পরমাণু অতিদ্রুত সাব-পিকোসেকেন্ড সময়ে ফোটন নির্গমন করে এবং ৯৯% এর বেশি ফোটন সরাসরি নির্দিষ্ট অপটিক্যাল ওয়েভগাইডে পরিচালিত হয়, যা আধুনিক অতি-উজ্জ্বল একক-ফোটন উৎসের প্রাণকেন্দ্র।
খ. স্বতঃস্ফূর্ত নিঃসরণে বাধা ((F_P o ০))
পরমাণুর কম্পাঙ্ক যদি কোনো ফটোনিক ক্রিস্টালের ফটোনিক ব্যান্ডগ্যাপ (PBG)-এর ভেতর পড়ে, তবে সেখানে কোনো আলোকীয় মোড না থাকায় ((
ho quiv ০)) পরমাণু শত চেষ্টা করেও ফোটন নির্গমন করতে পারে না। ফলে পরমাণুর উত্তেজিত জীবনকাল অসীম মাত্রায় বৃদ্ধি পায়, যা কোয়ান্টাম মেমোরি সুরক্ষায় ব্যবহৃত হয়।
৪. দুর্বল বনাম শক্তিশালী কাপলিং সীমা
পার্সেল প্রভাব কার্যকর থাকে ক্যাভিটি কিউইডির দুর্বল কাপলিং রেসিমে, যেখানে ক্যাভিটি থেকে ফোটন লিকের হার ((kappa)) পরমাণু-ফোটন মিথস্ক্রিয়ার ((g)) চেয়ে দ্রুত হয় ((g ll kappa))। ফোটন একবার বের হয়ে গেলে তা আর পরমাণুতে ফিরে আসে না।
কিন্তু যখন কাপলিং শক্তি ক্ষয়কে ছাড়িয়ে যায় ((g gg kappa, gamma)), তখন সিস্টেমটি শক্তিশালী কাপলিংয়ে প্রবেশ করে এবং সেখানে পার্সেল ক্ষয়ের বদলে জন্ম নেয় দ্বি-মুখী রাবি দোলন।
