চিরায়ত ক্যালকুলাস সমতল ইউক্লিডীয় স্পেস $mathbb{R}^n$-এর কাঠামোর মধ্যে সীমাবদ্ধ। কিন্তু মহাবিশ্বের বাস্তব ভৌত জগত—সাধারণ আপেক্ষিকতার বক্র স্থানকাল থেকে শুরু করে হ্যামিল্টোনীয় ফেজ স্পেস পর্যন্ত—বক্র টপোলজিক্যাল কাঠামো বা স্মুথ ম্যানিফোল্ড (Smooth Manifold)-এর ওপর বিন্যস্ত। স্থানীয় স্থানাঙ্ক চার্ট এবং $C^infty$-ডিফিওমর্ফিজম ট্রানজিশনের মাধ্যমে ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি এমন এক অভ্যন্তরীণ ভাষা উপহার দেয়, যেখানে কোনো বাহ্যিক স্পেস ছাড়াই ডেরিভেটিভ, ভেক্টর ক্ষেত্র ও টেনসর বিশ্লেষণ সমৃদ্ধ হয়।
১. টপোলজিক্যাল ম্যানিফোল্ড ও স্মুথ অ্যাটলাস
একটি $n$-মাত্রিক টপোলজিক্যাল ম্যানিফোল্ড $M$ হলো একটি দ্বিতীয়-গণনযোগ্য (second-countable), হাউসডর্ফ স্পেস যা স্থানীয়ভাবে $mathbb{R}^n$-এর সাথে হোমওমর্ফিক। একটি স্থানাঙ্ক চার্ট হলো একটি জোড় $(U, phi)$ যেখানে $U subset M$ উন্মুক্ত এবং $phi: U to phi(U) subset mathbb{R}^n$ একটি হোমওমর্ফিজম।
দুটি চার্ট $(U_alpha, phi_alpha)$ ও $(U_beta, phi_beta)$ যদি ওভারল্যাপ অঞ্চলে মসৃণ ট্রানজিশন ম্যাপ গঠন করে:
phi_beta circ phi_alpha^{-1}: phi_alpha(U_alpha cap U_beta) longrightarrow phi_beta(U_alpha cap U_beta)
এবং তা যদি $C^infty$-ডিফিওমর্ফিজম হয়, তবে তাদের কমপ্যাটিবল বলা হয়। সমস্ত কমপ্যাটিবল চার্টের সংকলন একটি স্মুথ অ্যাটলাস গঠন করে, যার সার্বিক সমাহার ম্যানিফোল্ডের স্মুথ গঠন নির্ধারণ করে।
২. ডেরিভেশন ও স্পর্শক স্পেস $T_p M$
একটি বিমূর্ত ম্যানিফোল্ডের বাইরের কোনো ফাঁকা স্থান নেই। তাই $p in M$ বিন্দুতে স্পর্শক ভেক্টরকে বীজগণিতীয়ভাবে মসৃণ ফাংশন অ্যালজেব্রা $C^infty(p)$-এর ওপর ডেরিভেশন (Derivation) হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। একটি ভেক্টর $v in T_p M$ এমন একটি রৈখিক রূপান্তর যা লিবনিজ গুণন সূত্র মেনে চলে:
v(f cdot g) = f(p) v(g) + g(p) v(f)
স্থানীয় স্থানাঙ্কে আংশিক অন্তরক অপারেটরগুলো $n$-মাত্রিক স্পর্শক স্পেস $T_p M$-এর ক্যানোনিক্যাল ভিত্তি তৈরি করে:
T_p M = text{span}left{ left. frac{partial}{partial x^1} right|_p, dots, left. frac{partial}{partial x^n} right|_p right}
ম্যানিফোল্ডের সকল স্পর্শক স্পেসের বিচ্ছিন্ন মিলনকে ট্যানজেন্ট বান্ডল (Tangent Bundle) $TM = bigsqcup_{p in M} T_p M$ বলা হয়, যা স্বয়ং $2n$-মাত্রিক একটি মসৃণ ম্যানিফোল্ড।
৩. ভেক্টর ফিল্ড ও লি ব্র্যাকেট (Lie Bracket)
একটি ভেক্টর ফিল্ড $X$ হলো ট্যানজেন্ট বান্ডলের একটি মসৃণ সেকশন $X in Gamma(TM)$। যদিও দুটি ভেক্টর ফিল্ডের সরাসরি বিন্যাস $X circ Y$ একটি দ্বিতীয় ক্রমের অন্তরক হওয়ায় ডেরিভেশন নয়, তাদের বিনিময় বা কমিউটেটর একটি অনন্য ভেক্টর ফিল্ড তৈরি করে যা লি ব্র্যাকেট নামে পরিচিত:
[X, Y] equiv X circ Y – Y circ X
লি ব্র্যাকেট জ্যাকোবি আইডেন্টিটি মেনে চলে এবং জ্যামিতিক অর্থে পরিমাপ করে যে $X$ ও $Y$ দ্বারা পরিচালিত প্রবাহগুলো পরস্পর বিনিময়যোগ্য কি না।
৪. কোট্যানজেন্ট বান্ডল ও ডিফারেনশিয়াল ফর্ম
স্পর্শক স্পেসের ডুয়াল হলো কোট্যানজেন্ট স্পেস $T_p^* M$, যার ভিত্তি তৈরি করে ডিফারেনশিয়াল উপাদান ${dx^1, dots, dx^n}$। এক্সটেরিয়র শক্তি $Omega^k(M)$ এর উপাদানগুলোকে ডিফারেনশিয়াল $k$-ফর্ম বলা হয়। এরা ওয়েজ প্রোডাক্ট ($wedge$) দ্বারা যুক্ত হয়:
omega wedge eta = (-1)^{k l} eta wedge omega
এক্সটেরিয়র ডেরিভেটিভ $d: Omega^k(M) to Omega^{k+1}(M)$ এর অন্যতম মৌলিক বৈশিষ্ট্য হলো এর স্ব-বিলোপন ($d^2 = 0$):
d(domega) = 0
এই শূন্যমান শর্তই ডি রাম কোহোমোলজি এবং ম্যাক্সওয়েলীয় তড়িৎচৌম্বকত্বের জ্যামিতিক ঐক্যের ভিত্তি।
