৩৫০ বছরেরও বেশি সময় ধরে ফার্মার শেষ উপপাদ্য ($n ge 3$-এর জন্য $x^n + y^n = z^n$-এর কোনো ধনাত্মক পূর্ণসাংখ্যিক সমাধান নেই) ছিল গণিত ইতিহাসের সবচেয়ে দুর্ভেদ্য প্রহেলিকা। ১৯৯৫ সালে অ্যান্ড্রু ওয়াইলসের হাত ধরে এর সমাধান সম্ভব হয় এক অভূতপূর্ব তাত্ত্বিক মেলবন্ধনের মাধ্যমে—বীজগণিতীয় জ্যামিতির ইলিপটিক কার্ভ বা উপবৃত্তীয় বক্ররেখা (Elliptic Curves) এবং হাইপারবোলিক অ্যানালাইসিসের মডুলার ফর্ম (Modular Forms)-এর ঐক্য। এই বিজয় নিশ্চিত করে শিমুরা-তানিয়ামা অনুমিতি এবং প্রতিষ্ঠা করে সংখ্যাতত্ত্বের আধুনিক মহাকাব্য: মডুলারিটি উপপাদ্য।
১. উপবৃত্তীয় বক্ররেখা ও কর্ড-অ্যান্ড-ট্যানজেন্ট গ্রুপ ল
একটি ফিল্ড $K$-এর ওপর একটি উপবৃত্তীয় বক্ররেখা $E$ হলো নন-সিঙ্গুলার প্রজেক্টিভ কিউবিক কার্ভ, যার বায়ারস্ট্রাস সমীকরণ:
y^2 = x^3 + ax + b, quad Delta equiv -16(4a^3 + 27b^2) neq 0
অসীমে অবস্থিত বিন্দু $mathcal{O}$-কে পরিচয় উপাদান (identity) ধরে, বক্ররেখার বিন্দুগুলোর সেট $E(K)$ জ্যামিতিক কর্ড-অ্যান্ড-ট্যানজেন্ট নিয়মে একটি অ্যাবেলিয়ান গ্রুপ গঠন করে:
- দুটি বিন্দু $P$ ও $Q$ যোগ করতে তাদের সংযোগকারী সরলরেখা আঁকা হয়, যা বক্ররেখাটিকে তৃতীয় একটি বিন্দু $R$-এ ছেদ করে।
- $R$-এর প্রতিবিম্বই হলো যোগফল: $P + Q = -R$।
- মর্ডেল-ওয়েইল উপপাদ্য অনুসারে, মূলদ সংখ্যার ওপর এই গ্রুপটি সসীমভাবে নির্মিত: $E(mathbb{Q}) cong mathbb{Z}^r oplus E(mathbb{Q})_{text{tors}}$।
২. মডুলার ফর্ম ও অটোমরফিক প্রতিসাম্য
উপরের অর্ধ-সমতলে $mathbb{H}$ সংজ্ঞায়িত এবং মডুলার গ্রুপ $text{SL}(2, mathbb{Z})$-এর অধীনে বিশেষ প্রতিসাম্য রক্ষাকারী হোলোমরফিক ফাংশনগুলোকে মডুলার ফর্ম (Modular Form) বলা হয়:
fleft(frac{az + b}{cz + d}right) = (cz + d)^k f(z)
পর্যায়বৃত্ততার কারণে মডুলার ফর্মকে ফুরিয়ার ধারায় বা $q$-এক্সপ্যানশনে প্রকাশ করা যায় ($q = e^{2pi i z}$):
f(z) = sum_{n=0}^infty a_n q^n
যদি $a_0 = 0$ হয়, তবে তাকে কাস্প ফর্ম (Cusp Form) বলা হয়। এরা হেকে অপারেটর ($T_n$) নামক বিশেষ সেলফ-অ্যাডজয়েন্ট অপারেটর গুচ্ছের সাধারণ আইগেনফাংশন হিসেবে আবির্ভূত হয়।
৩. হাসে-ওয়েইল এল-ফাংশন (Hasse-Weil L-function)
একটি উপবৃত্তীয় বক্ররেখাকে যেকোনো মৌলিক সংখ্যা $p$-এর মডুলোতে বিবেচনা করে প্রাপ্ত বিন্দুর সংখ্যা $N_p$ গণনা করা হয়। ফ্রবেনিয়াস ট্রেস $a_p equiv p + 1 – N_p$ নির্ণয় করে তৈরি করা হয় গ্লোবাল এল-ফাংশন:
L(E, s) = sum_{n=1}^infty frac{a_n}{n^s}
এই এল-ফাংশনটি উপবৃত্তীয় বক্ররেখার সমগ্র পাটিগণিতীয় ও জ্যামিতিক তথ্যকে নিজের মধ্যে ধারণ করে।
৪. মডুলারিটি উপপাদ্য ও ফার্মার শেষ উপপাদ্যের মীমাংসা
বিখ্যাত শিমুরা-তানিয়ামা-ওয়েইল অনুমিতি দাবি করে যে $mathbb{Q}$-এর ওপর প্রতিটি উপবৃত্তীয় বক্ররেখা আসলে মডুলার। অর্থাৎ, এমন একটি ওজন-২ বিশিষ্ট কাস্প ফর্ম $f$ বিদ্যমান যার ফুরিয়ার সহগ এবং উপবৃত্তীয় বক্ররেখার পয়েন্ট কাউন্ট সহগ প্রতিটি মৌলিক সংখ্যায় নিখুঁতভাবে মিলে যায়:
a_p(E) = a_p(f) quad forall p implies L(E, s) = L(f, s)
গেরহার্ড ফ্রেই দেখান যে ফার্মার সমীকরণ $a^p + b^p = c^p$-এর কোনো অসত্য সমাধান থাকলে তা এমন এক কাল্পনিক উপবৃত্তীয় বক্ররেখা (“ফ্রেই কার্ভ”) তৈরি করবে যা কখনোই মডুলার হতে পারে না। কেন রিবেট ও পরবর্তীতে ১৯৯৫ সালে অ্যান্ড্রু ওয়াইলস সেমি-স্টেবল উপবৃত্তীয় বক্ররেখার জন্য মডুলারিটি উপপাদ্য প্রমাণ করেন। ফলে প্রমাণিত হয় যে ফ্রেই কার্ভের কোনো বাস্তব অস্তিত্ব নেই, এবং অবসান ঘটে ফার্মার শেষ উপপাদ্যের সাড়ে তিনশত বছরের অমর রহস্যের।
