রিমান সমাকলন—অনুভূমিক $x$-অক্ষ বরাবর ডোমেইনকে ক্ষুদ্র উলম্ব আয়তক্ষেত্রে বিভক্ত করে ক্ষেত্রফল নির্ণয়—প্রাথমিক ক্যালকুলাসের ভিত্তি। কিন্তু লিমিট অপারেশনের ক্ষেত্রে রিমান সমাকলন ব্যাপকভাবে ব্যর্থ হয়: অনেক সুসংজ্ঞায়িত লিমিট ফাংশন আর রিমান ইন্টিগ্রেবল থাকে না এবং ফাংশন স্পেসগুলো অসম্পূর্ণ থেকে যায়। ১৯০২ সালে অঁরি লেবেগ ডোমেইনের বদলে উলম্ব $y$-অক্ষ বা ফাংশনের রেঞ্জকে পার্টিশন করে জন্ম দেন পরিমাপ তত্ত্ব (Measure Theory) এবং লেবেগ সমাকলন (Lebesgue Integration)।
১. অপরিমাপযোগ্য সেট ও $sigma$-অ্যালজেব্রা
স্বজ্ঞাতভাবে মনে হতে পারে যে $mathbb{R}^n$-এর যেকোনো সাবসেটকেই হয়তো একটি আয়তন বা “পরিমাপ” দেওয়া সম্ভব। কিন্তু ১৯০৫ সালে জিউসেপ্পে ভিটালি অ্যাক্সিওম অব চয়েস ব্যবহার করে প্রমাণ করেন যে এটি অসম্ভব: বাস্তব রেখায় এমন কিছু রোগাক্রান্ত সাবসেট তৈরি করা যায় যাদের কোনো সুসংগত পরিমাপ দেওয়া যায় না (যেমন ভিটালি সেট ও ব্যানাচ-তারস্কি প্যারাডক্স)।
এই বিভ্রান্তি এড়াতে পরিমাপকে সুনির্দিষ্ট কিছু সাবসেটের মধ্যে সীমাবদ্ধ রাখা হয়, যাকে বলা হয় $sigma$-অ্যালজেব্রা (Sigma-Algebra) $Sigma$। এর তিনটি শর্ত রয়েছে:
- সমগ্র স্পেস $X in Sigma$।
- কমপ্লিমেন্ট বা পূরকের আবদ্ধতা ($A in Sigma implies X setminus A in Sigma$)।
- গণনযোগ্য মিলনের আবদ্ধতা ($A_n in Sigma implies bigcup_{n=1}^infty A_n in Sigma$)।
২. লেবেগ পরিমাপ ও কার্থিওডোরি সম্প্রসারণ
একটি মেজার স্পেস $(X, Sigma)$-এ পরিমাপ (Measure) $mu$ হলো এমন একটি ফাংশন যা গণনযোগ্য সংযোগের ক্ষেত্রে যোগফল নীতি মেনে চলে:
muleft(bigcup_{i=1}^infty A_iright) = sum_{i=1}^infty mu(A_i)
কার্থিওডোরি সম্প্রসারণ উপপাদ্যের মাধ্যমে বাস্তব জগতে লেবেগ পরিমাপ সংজ্ঞায়িত হয়, যা স্বাভাবিক দৈর্ঘ্য, ক্ষেত্রফল ও আয়তনের ত্রুটিহীন সাধারণীকরণ।
৩. লেবেগ সমাকলন ও অভিসরণ উপপাদ্যসমূহ
লেবেগ সমাকলন সরল ফাংশনের (Simple functions) সুপ্রিমাম বা ঊর্ধ্বসীমা হিসেবে সংজ্ঞায়িত হয়:
int_X f , dmu equiv sup left{ int_X s , dmu : 0 le s le f right}
লেবেগ সমাকলনের সর্বশ্রেষ্ঠ ক্ষমতা হলো অসীম লিমিটের সাথে সমাকলনের বিনিময়যোগ্যতা:
- মনোটোন কনভারজেন্স উপপাদ্য: ফাংশন অনুক্রম ঊর্ধ্বমুখী হলে লিমিট ও সমাকলনের ক্রম সরাসরি পরিবর্তন করা যায়।
- ডমিনেটেড কনভারজেন্স উপপাদ্য (DCT): যদি $|f_n(x)| le g(x)$ হয় যেখানে $g$ সমাকলনযোগ্য, তবে:
lim_{n to infty} int_X f_n , dmu = int_X f , dmu
৪. র্যাডন-নিকোডিম উপপাদ্য ও আধুনিক সম্ভাবনা তত্ত্ব
যদি কোনো পরিমাপ $nu$ অপর একটি পরিমাপ $mu$-এর সাপেক্ষে পরম অবিচ্ছিন্ন (Absolutely Continuous, $nu ll mu$) হয়, তবে র্যাডন-নিকোডিম উপপাদ্য প্রমাণ করে যে একটি অনন্য ফাংশন $h$ বিদ্যমান থাকে যাতে:
nu(A) = int_A h , dmu
এই ডেনসিটি ফাংশন $h = frac{dnu}{dmu}$-কে বলা হয় র্যাডন-নিকোডিম ডেরিভেটিভ। ১৯৩৩ সালে আন্দ্রে কলমোগোরভ সমগ্র আধুনিক সম্ভাব্যতা তত্ত্বকে মেজার থিওরির ওপর প্রতিষ্ঠা করেন, যেখানে সম্ভাবনা হলো মেজার, প্রত্যাশা মান হলো লেবেগ সমাকলন এবং শর্তাধীন সম্ভাবনা হলো র্যাডন-নিকোডিম ডেরিভেটিভ।
