একটি মসৃণ ম্যানিফোল্ডে টপোলজিক্যাল সংযুক্তি এবং অন্তরক কাঠামো থাকলেও সেখানে দৈর্ঘ্য, কোণ বা দূরত্বের কোনো অন্তর্নিহিত ধারণা থাকে না। ১৮৫৪ সালে বার্নহার্ড রিমান প্রতিটি স্পর্শক স্পেসে একটি অভ্যন্তরীণ গুণফল (Inner product) প্রবর্তনের মাধ্যমে জন্ম দেন রিমানিয়ান জ্যামিতি (Riemannian Geometry)। এই বিপ্লবী জ্যামিতিক স্থাপত্যের মাধ্যমে বক্রতল বরাবর দূরত্ব পরিমাপ, প্যারালাল ট্রান্সপোর্ট এবং বক্রতা টেনসর সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব হয়—যা আলবার্ট আইনস্টাইনের সাধারণ আপেক্ষিকতার মূল ভিত্তি।
১. রিমানিয়ান মেট্রিক টেনসর $g$
একটি মসৃণ ম্যানিফোল্ড $M$-এ রিমানিয়ান মেট্রিক হলো প্রতিটি বিন্দু $p in M$-এ একটি মসৃণ ইনার প্রোডাক্ট $g_p: T_p M times T_p M to mathbb{R}$। এটি প্রতিসম ($g(X, Y) = g(Y, X)$) এবং পজিটিভ-ডেফিনিট ($g(X, X) > 0$, যদি $X neq 0$)।
স্থানীয় স্থানাঙ্কে মেট্রিক টেনসরটি লেখা হয়:
g = sum_{i,j=1}^n g_{ij} , dx^i otimes dx^j
এই মেট্রিকের সাহায্যে দুটি বিন্দুর মধ্যে ক্ষুদ্রতম বক্ররেখার দৈর্ঘ্য বা জিওডেসিক দূরত্ব নির্ণয় করা যায়, যা ম্যানিফোল্ডকে একটি মেট্রিক স্পেসে রূপান্তরিত করে।
২. লেভি-সিভিটা কানেকশন (Levi-Civita Connection)
বক্র তলে একটি ভেক্টর ফিল্ডের সাপেক্ষে অন্য ভেক্টর ফিল্ডের অন্তরীকরণ করতে প্রয়োজন একটি অ্যাফাইন কানেকশন $nabla$। রিমানিয়ান জ্যামিতির মৌলিক উপপাদ্য অনুসারে, প্রতিটি রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ডে একটি অনন্য লেভি-সিভিটা কানেকশন বিদ্যমান যা দুটি শর্ত পূরণ করে:
- মেট্রিক কমপ্যাটিবিলিটি: ভেক্টরের সমান্তরাল পরিবহনে তাদের দৈর্ঘ্য ও কোণ অপরিবর্তিত থাকে।
- টর্শন-মুক্ত (Torsion-free): $nabla_X Y – nabla_Y X – [X, Y] = 0$।
এর ক্রিস্টোফেল প্রতীক $Gamma_{ij}^k$ সরাসরি মেট্রিকের আংশিক অন্তরক থেকে নির্ণয় করা যায়।
৩. জিওডেসিক গতি ও হপফ-রিনো উপপাদ্য
একটি বক্ররেখা $gamma(t)$ যদি নিজের স্পর্শক ভেক্টর বরাবর কোনো ত্বরণ অনুভব না করে ($nabla_{dot{gamma}} dot{gamma} = 0$), তবে তাকে জিওডেসিক (Geodesic) বলা হয়। স্থানীয় স্থানাঙ্কে এর রূপ:
frac{d^2 x^k}{dt^2} + sum_{i,j=1}^n Gamma_{ij}^k frac{dx^i}{dt} frac{dx^j}{dt} = 0
হপফ-রিনো (Hopf-Rinow) উপপাদ্য অনুসারে, একটি সংযুক্ত রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ড জিওডেসিক্যালি পূর্ণ হবে যদি এবং কেবল যদি মেট্রিক স্পেস হিসেবে এটি পূর্ণ (complete) হয়।
৪. বক্রতার স্তরবিন্যাস: রিমান, রিকি ও স্কেলার
বক্রতা হলো সমান্তরাল পরিবহনে পথের ওপর নির্ভরশীলতার অন্তরায়। রিমান কার্ভেচার এন্ডোমর্ফিজম কোভ্যারিয়েন্ট ডেরিভেটিভের কমিউটেটর দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়:
R(X, Y)Z equiv nabla_X nabla_Y Z – nabla_Y nabla_X Z – nabla_{[X, Y]} Z
সূচক সংকোচনের (index contraction) মাধ্যমে রিমান টেনসর থেকে পাওয়া যায়:
- রিকি টেনসর ($R_{munu}$): ইউক্লিডীয় গোলকের তুলনায় জিওডেসিক প্রবাহের আয়তন সংকোচন পরিমাপ করে।
- স্কেলার কার্ভেচার ($R$): একটি বিন্দুতে গড় সার্বিক বক্রতার মান।
- আইনস্টাইন টেনসর ($G_{munu} = R_{munu} – frac{1}{2} R g_{munu}$): যা শক্তি-ভর টেনসরের সাথে সরাসরি সম্পর্কিত এবং যার ডাইভারজেন্স নিখুঁতভাবে শূন্য ($nabla^mu G_{munu} = 0$)।
