জ্ঞান বদলে দেওয়া সমীকরণসমূহ (পর্ব ১০): বোলৎজমানের এন্ট্রপি সমীকরণ — পরিসংখ্যানিক বলবিদ্যা ও কালের তির

মেঝেতে একটি কাচের ফুলদানি পড়ে ভেঙে চুরমার হয়ে গেল। কিন্তু এই ঘটনাটির ভিডিও ধারণ করে উল্টো দিকে চালালে যে কেউ সাথে সাথে বলে দেবে এটি অসম্ভব: মেঝে থেকে কাচের টুকরোগুলো নিজে নিজে উড়ে এসে জোড়া লেগে কখনো আস্ত ফুলদানিতে পরিণত হবে না। অথচ আইজ্যাক নিউটনের গতিসূত্র কিংবা ম্যাক্সওয়েলের বিদ্যুৎ-চুম্বকের কোনো সূত্রেই সময়ের উল্টো যাত্রাকে নিষিদ্ধ করা হয়নি। পারমাণবিক কণার প্রতিটি সংঘর্ষ সম্পূর্ণ সময়-প্রতিসম (Time-Symmetric)। তাহলে আমাদের দৃশ্যমান মহাবিশ্বে কেন সময় সর্বদা একমুখী? কেন অতীতের স্মৃতি থাকে কিন্তু ভবিষ্যতের থাকে না? এই মহাজাগতিক রহস্য উন্মোচন করতে ১৮৭৭ সালে অস্ট্রিয়ান পদার্থবিজ্ঞানী লুডভিগ বোলৎজমান পরমাণুর অদৃশ্য জগৎ ও আমাদের তাপগতীয় বাস্তবতার মাঝে এক অমর সাঁকো তৈরি করেন—যার সমীকরণটি ভিয়েনায় তার সমাধিতে চিরতরে খোদাই করা রয়েছে: $S = k_B ln Omega$।

১. সমীকরণের পরিচয়: অণু-পরমাণু থেকে তাপগতিবিদ্যায় রূপান্তর

কোনো বিচ্ছিন্ন ব্যবস্থার ম্যাক্রোস্কোপিক তাপগতীয় এন্ট্রপি $S$-এর সাথে তার আণুবীক্ষণিক মাইক্রোস্টেটের সংখ্যা $Omega$-এর সম্পর্ক নিম্নোক্ত অমর সমীকরণে আবদ্ধ:

এই সংক্ষিপ্ত সমীকরণটি প্রকৃতির সবচেয়ে জটিল ধারণাকে ব্যাখ্যা করে:

• $S$ (তাপগতীয় এন্ট্রপি): কোনো ব্যবস্থার বিশৃঙ্খলা বা হারিয়ে যাওয়া কার্যকর শক্তির পরিমাপ (একক: জুল প্রতি কেলভিন, $text{J/K}$)। রুডলফ ক্লসিয়াস ১৮৬৫ সালে এর সংজ্ঞা দিয়েছিলেন $dS = delta Q_{text{rev}} / T$।
• $k_B$ (বোলৎজমান ধ্রুবক): আণুবীক্ষণিক গতিশক্তি ও ম্যাক্রোস্কোপিক তাপমাত্রার সংযোগকারী সার্বজনীন ধ্রুবক: $$k_B approx ১.৩৮০৬৪৯ times ১০^{-২৩} text{ J/K}$$
• $Omega$ (মাইক্রোস্টেটের সংখ্যা বা মাল্টিপ্লিসিটি): কোনো ব্যবস্থার নির্দিষ্ট তাপমাত্রা, চাপ ও আয়তন বজায় রেখে তার ভেতরে থাকা $১০^{২৩}$ সংখ্যক অণু-পরমাণুর অবস্থান ও ভরবেগের মোট সম্ভাব্য বিন্যাসের সংখ্যা।
• প্রাকৃতিক লগারিদম ($ln$): গুণাত্মক বিন্যাস সংখ্যাকে যোগাত্মক তাপগতীয় এন্ট্রপিতে রূপান্তরকারী গাণিতিক ভিত্তি।

২. কেন লগারিদম? স্বাধীন ব্যবস্থার যোগাত্মক ধর্ম

এন্ট্রপির সূত্রে লগারিদম কেন আসতেই হবে? বোলৎজমান যুক্তি দেন: দুটি স্বাধীন ব্যবস্থা $A$ এবং $B$-এর কথা চিন্তা করুন। $A$-এর সম্ভাব্য বিন্যাস সংখ্যা $Omega_A$ এবং $B$-এর $Omega_B$ হলে, তাদের যৌথ ব্যবস্থার মোট বিন্যাস সংখ্যা গুণনবিধিমতে:

কিন্তু তাপগতিবিদ্যায় সামগ্রিক এন্ট্রপি হতে হয় যোগাত্মক ($S_{AB} = S_A + S_B$)। অতএব, এন্ট্রপির এমন একটি অপেক্ষক $f(Omega)$ প্রয়োজন যা গুণকে যোগে রূপান্তরিত করে:

গণিতে একমাত্র লগারিদম ফাংশনই এই শর্ত পূরণ করতে পারে ($f(Omega) = k ln Omega$)। পরমাণুর বিন্যাসের গুণাত্মক ধর্মই এন্ট্রপির লগারিদমিক রূপকে অনিবার্য করে তোলে।

৩. পরিসংখ্যানিক সত্য: কেন এন্ট্রপি সর্বদা বৃদ্ধি পায়

বোলৎজমানের আগে তাপগতিবিদ্যার দ্বিতীয় সূত্রকে ($Delta S ge 0$) প্রকৃতির অনড় যান্ত্রিক আইন মনে করা হতো। বোলৎজমান প্রমাণ করলেন এটি কোনো অন্ধ নিষেধাজ্ঞা নয়, বরং পরিসংখ্যানের পরম সম্ভাবনা।

একটি পাত্রের অর্ধেক অংশে রাখা গ্যাস ছেড়ে দিলে তা পুরো পাত্রে ছড়িয়ে পড়ে—কারণ গ্যাস কণাগুলো ছড়িয়ে থাকার সম্ভাব্য বিন্যাসের সংখ্যা ($Omega$) এক কোণে আটকে থাকার বিন্যাসের চেয়ে কোটি কোটি গুণ বেশি। ফুলদানি ভেঙে যায় কিন্তু নিজে নিজে জোড়া লাগে না—কারণ আস্ত থাকার বিন্যাস মাত্র একটি, কিন্তু ভাঙা থাকার সম্ভাব্য বিন্যাস কোটি কোটি। সময় সামনে এগিয়ে চলে কেবল এই কারণে যে প্রকৃতি অন্ধভাবে সবচেয়ে বেশি বিন্যাসযুক্ত দশার দিকে ধাবিত হয়।

৪. ক্লদ শ্যাননের তথ্য এন্ট্রপি

১৯৪৮ সালে ক্লদ শ্যানন ডিজিটাল তথ্য তত্ত্বের ভিত্তি স্থাপন করার সময় তথ্যের অনিশ্চয়তার পরিমাপ হিসেবে বোলৎজমানের হুবহু একই সমীকরণ আবিষ্কার করেন ($H = -sum p_i log_2 p_i$)। বোলৎজমানের এন্ট্রপি মূলত প্রকৃতির কাছে লুকায়িত তথ্যের পরিমাপ।

শাকিল মাহমুদ সজল

সফটওয়্যার প্রকৌশলী ও লেখক, ঢাকা, বাংলাদেশ। কম্পিউটার বিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, ইতিহাস ও ভাবনার সমন্বয়ে ব্যক্তিগত নোট ও প্রবন্ধ সংকলন।