১৯৮০-এর দশকের শেষভাগে সুপারকম্পিউটারের শক্তি বৃদ্ধির সাথে সাথে আরএসএ (RSA)-এর নিরাপত্তা বজায় রাখতে এর কী সাইজ ৫১২ থেকে বাড়িয়ে ২০৪৮ ও ৩০৭২ বিটে উন্নীত করতে হয়। এই বিশাল আকারের কী মোবাইল ফোন ও ইন্টারনেটের গতির ওপর প্রচণ্ড চাপ সৃষ্টি করছিল। ১৯৮৫ সালে নীল কোব্লিটজ এবং ভিক্টর মিলার স্বাধীনভাবে গণিতের এক জাদুকরী সমাধান আবিষ্কার করেন: উপবৃত্তাকার বক্ররেখা ক্রিপ্টোগ্রাফি (Elliptic Curve Cryptography বা ECC)। মডুলার পূর্ণসংখ্যার বদলে সসীম ফিল্ডের উপবৃত্তাকার বক্ররেখার বিন্দুর গ্রুপ কাঠামোর ওপর ডিসক্রিট লগারিদম সমস্যা প্রতিস্থাপন করে ECC মাত্র ২৫৬ বিটের একটি ক্ষুদ্র কী দিয়ে ৩০৭২ বিটের বিশাল RSA-এর সমান নিরাপত্তা প্রদান করে।

১. উপবৃত্তাকার বক্ররেখার জ্যামিতি: ভায়ারস্ট্রাস সমীকরণ

উপবৃত্তাকার বক্ররেখা কোনো উপবৃত্ত বা ইলিপ্স নয়; এটি একটি মসৃণ কিউবিক বা ত্রিঘাত বক্ররেখা। একটি সসীম প্রাইম ফিল্ড $mathbb{F}_p$-এর ওপর এটি সংজ্ঞায়িত হয়:

[
y^2 equiv x^3 + a x + b pmod p
]

এখানে ডিসক্রিমিন্যান্ট $Delta = -16(4a^3 + 27b^2) notequiv 0$ হতে হয় যেন কোনো বিন্দুতে রেখাটি নিজের সাথে ছেদ না করে।

২. গ্রুপ ল: ছেদক ও স্পর্শক বিন্দু যোগ

বেজু-র উপপাদ্য অনুযায়ী একটি সরলরেখা ত্রিঘাত বক্ররেখাকে ঠিক তিনটি বিন্দুতে ছেদ করে। এই জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে একটি অ্যাবিলিয়ান গ্রুপ গঠন করা হয়:

  • বিন্দু যোগ ($P + Q$): $P$ ও $Q$ বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি সরলরেখা টানলে তা বক্ররেখাকে তৃতীয় একটি বিন্দু $-R$-এ ছেদ করে। এই $-R$-কে $x$-অক্ষের সাপেক্ষে উল্টে দিলে পাওয়া যায় যোগফল $R = P + Q$।
  • পয়েন্ট ডাবলিং ($2P$): $P$ বিন্দুতে স্পর্শক (Tangent) টানলে তা বক্ররেখাকে অন্য বিন্দুতে ছেদ করে, যা থেকে দ্বিগুণ বিন্দু $2P$ পাওয়া যায়।

৩. স্কেলার গুণন ও ECDLP-এর দুর্ভেদ্যতা

একটি বেস পয়েন্ট $G$-কে $k$ বার যোগ করে তৈরি হয় পাবলিক পয়েন্ট:

[
Q = k cdot G = G + G + dots + G
]

ডাবল-অ্যান্ড-অ্যাড অ্যালগরিদমে মাইক্রোসেকেন্ডে $Q$ গণনা করা যায়। কিন্তু $Q$ এবং $G$ থেকে মূল স্কেলার $k$ বের করা হলো Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem (ECDLP)।

RSA-তে সাব-এক্সপোনেনশিয়াল আক্রমণ (GNFS) সম্ভব হলেও সাধারণ উপবৃত্তাকার বক্ররেখায় কোনো সাব-এক্সপোনেনশিয়াল আক্রমণ বিদ্যমান নেই! পোলার্ডের রো অ্যালগরিদমে এর জটিলতা সম্পূর্ণ এক্সপোনেনশিয়াল $mathcal{O}(sqrt{p}) approx mathcal{O}(2^{128})$। এই কারণে ২৫৬-বিট ECC আজ বিটকয়েন, ইথেরিয়াম, অ্যাপল ডিভাইস এবং বৈশ্বিক ওয়েবসাইটের (TLS 1.3) প্রধান নিরাপত্তা প্রাচীর।

শাকিল মাহমুদ সজল

শাকিল মাহমুদ সজল

সফটওয়্যার প্রকৌশলী ও লেখক, ঢাকা, বাংলাদেশ। কম্পিউটার বিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, ইতিহাস ও ভাবনার সমন্বয়ে ব্যক্তিগত নোট ও প্রবন্ধ সংকলন।