শ্যাননের ১৯৪৮ সালের নয়েজি-চ্যানেল কোডিং উপপাদ্য প্রমাণ করেছিল যে চ্যানেল ক্যাপাসিটি পর্যন্ত যেকোনো গতিতে শূন্য ত্রুটিতে তথ্য পাঠানো সম্ভব। কিন্তু শ্যানন কোনো বাস্তব অ্যালগরিদম নির্মাণ করেননি; তাঁর প্রমাণ ছিল র্যান্ডম কোডবুকের ওপর নির্ভরশীল, যা ডিকোড করতে অবাস্তব মেমোরির প্রয়োজন হতো। এর পরবর্তী অর্ধশতক জুড়ে প্রকৌশলী ও গণিতবিদদের মূল বুদ্ধিবৃত্তিক সাধনা ছিল এমন কোড তৈরি করা যা বহুপদী সময়ে (Polynomial Time) ডিকোড করা যাবে এবং শ্যানন সীমার কাছাকাছি পৌঁছাতে পারবে। এই গবেষণার ফসল হলো রিচার্ড হ্যামিংয়ের জ্যামিতিক প্যারিটি কোড, রিড-সলোমনের নন-বাইনারি বহুপদী এবং আধুনিক ৫জি বিপ্লবের মূল চালিকাশক্তি লো-ডেনসিটি প্যারিটি-চেক (LDPC) কোড।
১. লিনিয়ার ব্লক কোডের বীজগণিতীয় রূপ
একটি $[n, k, d]$ বাইনারি লিনিয়ার ব্লক কোড $k$ বিটের বার্তাকে $n$ বিটের কোডওয়ার্ডে রূপান্তর করে ($n > k$), যার ন্যূনতম হ্যামিং দূরত্ব $d$। এটি গ্যালোয়া ফিল্ড $mathbb{F}_2$-এর ওপর একটি $k$-মাত্রিক ভেক্টর সাবস্পেস।
- জেনারেটর ম্যাট্রিক্স $G$: বার্তাকে কোডওয়ার্ডে পরিণত করে: $c = m cdot G$।
- প্যারিটি-চেক ম্যাট্রিক্স $H$: শর্ত পূরণ করে $G cdot H^T = 0$। কোনো প্রাপ্ত ভেক্টর $r$ বৈধ কোডওয়ার্ড কি না তা যাচাই করা হয় সিন্ড্রোম দ্বারা:
[
s = r cdot H^T = (c oplus e) H^T = e cdot H^T
]
ন্যূনতম হ্যামিং দূরত্ব $d$ হলে কোডটি সর্বোচ্চ $t = lfloor (d-1)/2 rfloor$ সংখ্যক বিট ত্রুটি সম্পূর্ণ সংশোধন করতে পারে।
২. ক্লাসিক্যাল কোড: হ্যামিং ও রিড-সলোমন
১৯৫০ সালে রিচার্ড হ্যামিং উদ্ভাবন করেন $[7, 4, 3]$ হ্যামিং কোড, যা নিখুঁতভাবে একক বিট ত্রুটি সংশোধন করতে পারে। কিন্তু বাস্তব অপটিক্যাল ডিস্ক (CD/DVD) বা মহাকাশ যোগাযোগে নয়েজ আসে দীর্ঘ সময় ধরে একঝাঁক বিটকে ধ্বংসকারী ‘বার্স্ট এরর’ হিসেবে।
১৯৬০ সালে আর্ভিং রিড এবং গুস্তাভ সলোমন উচ্চতর গ্যালোয়া ফিল্ড $GF(2^m)$-এর ওপর ভিত্তি করে উদ্ভাবন করেন রিড-সলোমন (RS) কোড। এখানে বার্তাকে একটি বহুপদী $P(x)$-এর সহগ হিসেবে ধরা হয় এবং কোডওয়ার্ড তৈরি হয় বিভিন্ন বিন্দুতে বহুপদীর মান নির্ণয়ের মাধ্যমে। বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য অনুযায়ী এর দূরত্ব সর্বোচ্চ তাত্ত্বিক সিঙ্গলটন সীমা ($d = n – k + 1$) অর্জন করে। নাসার ভয়েজার নভোযান থেকে পাঠানো বৃহস্পতি ও শনির রঙিন ছবি এই রিড-সলোমন কোডের সাহায্যেই পৃথিবীতে অক্ষত পৌঁছেছিল।
৩. আধুনিক বিপ্লব: এলডিপিসি ও ট্যানার গ্রাফ
১৯৬২ সালে রবার্ট গ্যালাগার উদ্ভাবিত এবং নব্বইয়ের দশকে পুনরুজ্জীবিত এলডিপিসি (LDPC) কোড শ্যানন সীমার সবচেয়ে কাছাকাছি পৌঁছাতে সক্ষম হয়।
এর প্যারিটি-চেক ম্যাট্রিক্স $H$ অত্যন্ত স্পার্স বা ফাঁকা থাকে, যা একটি দ্বিমুখী ট্যানার গ্রাফ (Tanner Graph) গঠন করে। ভেরিয়েবল নোড ও চেক নোডের মধ্যে ক্রমাগত সম্ভাব্যতা বিনিময় (Belief Propagation বা Sum-Product Algorithm) করে রৈখিক সময়ে $mathcal{O}(n)$ ডিকোডিং সম্পন্ন হয়। আধুনিক 5G নিউ রেডিও এবং স্যাটেলাইট যোগাযোগে ব্যবহৃত উন্নত এলডিপিসি কোড শ্যাননের চরম তাত্ত্বিক সীমার মাত্র ০.০০৪৫ ডেসিবেল দূরত্বের মধ্যে নিখুঁতভাবে কাজ করে!
