তথ্য যখন ক্লাসিক্যাল সম্ভাবনার নিয়ম ছেড়ে কোয়ান্টাম বলবিদ্যার জগতে প্রবেশ করে, তখন কী ঘটে? একটি একক কিউবিট একটি দ্বিমাত্রিক জটিল হিলবার্ট স্পেস $mathcal{H}_2$-এ বাস করে; আর $n$-কিউবিটের রেজিস্টার $2^n$ মাত্রার বিশাল মহাবিশ্ব ধারণ করে। যেহেতু কোয়ান্টাম অ্যাম্প্লিটিউডের মান অসীমভাবে নিরবচ্ছিন্ন, তাই অনেকেই ভেবেছিলেন একটিমাত্র পরমাণুর ভেতরে হয়তো অসীম পরিমাণ ক্লাসিক্যাল ডেটা ভরে রাখা সম্ভব। ১৯৭৩ সালে রাশিয়ান পদার্থবিজ্ঞানী ও গণিতবিদ আলেকসান্দর হলেভো এই ভ্রান্ত ধারণা চিরতরে দূর করেন। আধুনিক পদার্থবিজ্ঞানের এক ঐতিহাসিক মাইলফলক হিসেবে হলেভোর উপপাদ্য (Holevo’s Bound) প্রমাণ করে যে $n$ সংখ্যক ফিজিক্যাল কিউবিট থেকে কোনো পরিমাপের মাধ্যমেই $n$ বিটের বেশি ক্লাসিক্যাল তথ্য উদ্ধার করা সম্ভব নয়।

১. ভন নিউম্যান এনট্রপি: কোয়ান্টাম অনিশ্চয়তার পরিমাপ

ক্লাসিক্যাল সম্ভাবনা বিন্যাসে শ্যানন এনট্রপির সমতুল্য হিসেবে ১৯৩২ সালে জন ভন নিউম্যান কোয়ান্টাম ডেনসিটি ম্যাট্রিক্স $rho$-এর জন্য উদ্ভাবন করেন ভন নিউম্যান এনট্রপি:

[
S(rho) = -text{Tr}(rho log_2 rho) = -sum lambda_i log_2 lambda_i
]

যেখানে $lambda_i$ হলো ডেনসিটি ম্যাট্রিক্সের আইগেনভ্যালু। একটি বিশুদ্ধ কোয়ান্টাম স্টেটের জন্য এনট্রপি শূন্য ($S = 0$), আর $n$-কিউবিটের ম্যাক্সিমালি মিক্সড স্টেটের ক্ষেত্রে সর্বোচ্চ এনট্রপি $S = n$ বিট।

২. অ্যাক্সেসিবল ইনফরমেশন ও POVM পরিমাপ

ধরা যাক অ্যালিস $p_x$ সম্ভাবনায় কোয়ান্টাম স্টেট $rho_x$ প্রস্তুত করে ববের কাছে পাঠায়। বব এই কিউবিটগুলো পরিমাপ করার জন্য একটি জেনারেলাইজড কোয়ান্টাম মেজারমেন্ট (POVM) প্রয়োগ করে। বব পরিমাপের মাধ্যমে অ্যালিসের মূল বার্তার যে সর্বোচ্চ মিউচুয়াল ইনফরমেশন পেতে পারে, তাকে বলা হয় অ্যাক্সেসিবল ইনফরমেশন (Accessible Information) $I_{text{acc}}$।

৩. হলেভোর ঐতিহাসিক উপপাদ্য

আলেকসান্দর হলেভো প্রমাণ করেন যে অ্যাক্সেসিবল তথ্যের মান সর্বদা হলেভো রাশি ($chi$) দ্বারা সীমাবদ্ধ:

[
I_{text{acc}} le chi = Sleft( sum_x p_x rho_x right) – sum_x p_x S(rho_x) le n quad text{bits}
]

এর অর্থ হলো, হিলবার্ট স্পেসের মাত্রা যত বিশালই হোক না কেন, পরিমাপের সময় কোয়ান্টাম স্টেট কলাপ্স করে মাত্র প্রতি কিউবিটে ১টি ক্লাসিক্যাল বিট তথ্য প্রদান করে। প্রকৃতি তার অসীম অ্যাম্প্লিটিউডকে আমাদের প্রত্যক্ষ পরিমাপ থেকে সংবেদনশীলভাবে আড়াল করে রাখে।

৪. শুমাখারের কোয়ান্টাম সোর্স কোডিং উপপাদ্য

১৯৯৫ সালে বেঞ্জামিন শুমাখার শ্যাননের সোর্স কোডিং উপপাদ্যকে কোয়ান্টাম জগতে প্রসারিত করেন। তিনি প্রমাণ করেন যে একটি কোয়ান্টাম সোর্সকে বিশ্বস্ততার সাথে সংকুচিত করতে ঠিক $n S(rho)$ সংখ্যক কিউবিট প্রয়োজন। ভন নিউম্যান এনট্রপিই হলো কোয়ান্টাম ডেটা কম্প্রেশনের পরম সীমা, যা প্রমাণ করে তথ্যই হলো প্রকৃতির সবচেয়ে মৌলিক সত্তা।

শাকিল মাহমুদ সজল

শাকিল মাহমুদ সজল

সফটওয়্যার প্রকৌশলী ও লেখক, ঢাকা, বাংলাদেশ। কম্পিউটার বিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, ইতিহাস ও ভাবনার সমন্বয়ে ব্যক্তিগত নোট ও প্রবন্ধ সংকলন।