১৯৪৮ সালের পূর্বে টেলিযোগাযোগ প্রকৌশলের চিরাচরিত বিশ্বাস ছিল যে, তার বা রেডিও তরঙ্গে দ্রুত গতিতে তথ্য পাঠাতে গেলে ভুলের হার (Error Rate) অনিবার্যভাবে বৃদ্ধি পাবে। নির্ভুল যোগাযোগ করতে হলে গতিকে প্রায় শূন্যের কোঠায় নামিয়ে আনতে হবে। ক্লদ শ্যানন তাঁর নয়েজি-চ্যানেল কোডিং উপপাদ্য (Noisy-Channel Coding Theorem) দ্বারা এই শতাব্দীপ্রাচীন ভুল ধারণাকে চূর্ণ করেন। তিনি প্রমাণ করেন যে প্রতিটি ভৌত চ্যানেলের একটি সহজাত পরম ক্ষমতা রয়েছে যাকে বলা হয় চ্যানেল ক্যাপাসিটি ($C$)। যতক্ষণ পর্যন্ত প্রেরণের গতি $R < C$ থাকবে, ততক্ষণ এমন কোডিং অ্যালগরিদম তৈরি করা সম্ভব যা ভুলের সম্ভাবনাকে শূন্যে নামিয়ে আনবে। গতি বাড়ালে ভুল হওয়া কোনো প্রাকৃতিক নিয়ম নয়, এটি কেবল সঠিক কোডিং না করার ফল!
১. ডিসক্রিট মেমোরিলেস চ্যানেল ও ক্যাপাসিটির সংজ্ঞা
একটি চ্যানেলের ইনপুট $X$, আউটপুট $Y$ এবং ট্রানজিশন সম্ভাবনা $p(y|x)$ হলে, চ্যানেল ক্যাপাসিটি $C$ সংজ্ঞায়িত হয় ইনপুট ও আউটপুটের মিউচুয়াল ইনফরমেশনের সর্বোচ্চ মান দ্বারা:
[
C = max_{p(x)} I(X; Y) quad text{bits per channel use}
]
দুটি ক্লাসিক্যাল চ্যানেল:
- বাইনারি সিমেট্রিক চ্যানেল (BSC): নয়েজের কারণে বিট উল্টে যাওয়ার সম্ভাবনা $p$ হলে ক্যাপাসিটি $C = 1 – H_2(p)$। যদি $p = 0.5$ হয়, তবে চ্যানেলটি সম্পূর্ণ অকেজো ($C = 0$)।
- বাইনারি ইরেজার চ্যানেল (BEC): বিট নষ্ট হওয়ার সম্ভাবনা $epsilon$ হলে ক্যাপাসিটি $C = 1 – epsilon$।
২. নয়েজি চ্যানেল কোডিং উপপাদ্য ও র্যান্ডম কোডিং
শ্যাননের যুগান্তকারী উপপাদ্যের দুটি দিক রয়েছে:
- সরাসরি উপপাদ্য: যেকোনো গতি $R < C$-এর জন্য যথেষ্ট দীর্ঘ ব্লক কোড ব্যবহার করলে ডিকোডিং ত্রুটির সম্ভাবনা $P_e to 0$ করা সম্ভব।
- বিপরীত উপপাদ্য: গতি $R > C$ হলে ত্রুটি অনিবার্য এবং তা ১০০%-এর দিকে ধাবিত হয়।
কোনো নির্দিষ্ট কোড না বানিয়েও শ্যানন গণিতের এক অভাবনীয় কৌশল ব্যবহার করেছিলেন—র্যান্ডম কোডিং মেথড। তিনি দেখান যে দৈবভাবে নির্বাচিত সকল কোডের গড় ত্রুটির সম্ভাবনা যদি শূন্য হয়, তবে সেই সেটের মধ্যে নিশ্চিতভাবেই অন্তত একটি নিখুঁত কোড বিদ্যমান রয়েছে!
৩. অবিচ্ছিন্ন গাউসিয়ান চ্যানেল ও শ্যানন-হার্টলি সূত্র
বাস্তব পৃথিবীর তামার তার, অপটিক্যাল ফাইবার এবং স্যাটেলাইট লিংকে তাপীয় নয়েজ হলো গাউসিয়ান ডিস্ট্রিবিউশনভুক্ত। নাইকুইস্ট স্যাম্পলিং রেট প্রয়োগ করে শ্যানন প্রতিপাদন করেন পদার্থবিজ্ঞান ও প্রকৌশলের অন্যতম মহান সমীকরণ—শ্যানন-হার্টলি সূত্র:
[
C = B log_2 left( 1 + frac{S}{N} right) = B log_2(1 + text{SNR}) quad text{bits/second}
]
এখানে $B$ হলো চ্যানেলের ব্যান্ডউইথ (হার্টজ) এবং $S/N$ হলো সিগন্যাল-টু-নয়েজ অনুপাত (SNR)।
মহাকাশ যোগাযোগে যখন ব্যান্ডউইথ অসীম ($B to infty$) ধরা হয়, তখন প্রতি বিটের প্রয়োজনীয় শক্তি $E_b/N_0$-এর চরম তাত্ত্বিক সীমা উন্মোচিত হয়:
[
frac{E_b}{N_0} ge ln 2 approx 0.693 iff frac{E_b}{N_0} ge -1.59 text{ dB}
]
মহাবিশ্বের কোনো প্রযুক্তিই $-১.৫৯ text{ dB}$-এর নিচে ত্রুটিমুক্ত তথ্য পাঠাতে পারে না। আজকের 5G নেটওয়ার্ক এবং নাসার জেমস ওয়েব টেলিস্কোপ এই পরম সীমার মাত্র ০.১ ডেসিবেলের মধ্যে কাজ করে!
