অন্ধকার গুহায় কোনো দৃশ্যমান সংকেত ছাড়াই প্রাণী কীভাবে নিজের নিখুঁত অবস্থান বুঝতে পারে? বাহ্যিক সংকেত ছাড়া কেবল অভ্যন্তরীণ গতির সংকেত যোগ করে অবস্থান নির্ণয়ের এই পদ্ধতিকে বলা হয় পাথ ইন্টিগ্রেশন (Path Integration)। ২০১৪ সালে জন ও’কিফ, মে-ব্রিট মোসার এবং এডভার্ড মোসার স্তন্যপায়ীর অভ্যন্তরীণ জিপিএস আবিষ্কারের জন্য নোবেল লাভ করেন: হিপোক্যাম্পাসের প্লেস সেল (Place Cells) এবং মিডিয়াল এন্টোরহাইনাল কর্টেক্সের (MEC) গ্রিড সেল (Grid Cells)। তাত্ত্বিক স্নায়ুবিজ্ঞানে এই বিস্ময়কর ব্যবস্থাটিকে একটি টরয়েডাল ম্যানিফোল্ড (Toroidal Manifold)-এর ওপর বিন্যস্ত কন্টিনিউয়াস অ্যাট্রাক্টর (CANN) হিসেবে মডেল করা হয়।
১. রিং অ্যাট্রাক্টর ও হেড-ডিরেকশন সিস্টেম
সবচেয়ে সাধারণ অবিচ্ছিন্ন অ্যাট্রাক্টর হলো ১-মাত্রিক রিং অ্যাট্রাক্টর, যা মাথার কোণ $theta in [0, 2pi)$ ধারণ করে। নিউরনগুলোর মধ্যবর্তী সংযোগ ম্যাক্সিকান-হ্যাট কার্নেল (কাছে উত্তেজনা, দূরে দমন) মেনে চলে:
W(theta, theta’) = J_0 + J_2 cos(theta – theta’)
স্বতঃস্ফূর্ত প্রতিসাম্য ভঙ্গের মাধ্যমে এই রিংয়ে একটি সক্রিয় ফায়ারিং বাম্প (Bump) তৈরি হয়। প্রাণী যখন মাথা ঘোরায়, অ্যাঙ্গুলার ভেলোসিটির প্রভাবে এই বাম্পটি বৃত্তাকার রিং বরাবর সরে গিয়ে অভিমুখের নিখুঁত হিসাব রাখে।
২. ষড়ভুজাকার গ্রিড সেল ও দ্বি-মাত্রিক টরাস $mathbb{T}^2$
প্লেস সেলগুলো নির্দিষ্ট একক স্থানে ফায়ার করলেও, গ্রিড সেলগুলো সমগ্র পরিবেশজুড়ে এক অবিশ্বাস্য নিখুঁত ত্রিকোণাকার বা ষড়ভুজাকার ল্যাটিস (Hexagonal Lattice) তৈরি করে ফায়ার করে।
২০০৬ সালে বুরাক ও ফিয়েতে প্রমাণ করেন যে এই ষড়ভুজাকার পর্যায়বৃত্ত প্যাটার্নের টপোলজিক্যাল আকার হলো একটি দ্বি-মাত্রিক টরাস (Torus, $mathbb{T}^2 = S^1 times S^1$)। ২০২২ সালে গার্ডনার ও তাঁর দল আধুনিক ম্যানিফোল্ড লার্নিংয়ের মাধ্যমে ইঁদুরের গ্রিড সেলের পপুলেশন ডেটা থেকে সরাসরি এই টরয়েডাল আকৃতি প্রমাণ করে তাত্ত্বিক গবেষণার চূড়ান্ত বিজয় নিশ্চিত করেন।
৩. পাথ ইন্টিগ্রেশন ও ভেলোসিটি ফ্লো
গতিবেগকে কীভাবে স্থানিক অবস্থানে রূপান্তর করা হয়? প্রাণীর হাঁটার গতি ও অভিমুখ সিন্যাপটিক ওজনে একটি ক্ষণিক অপ্রতিসাম্য তৈরি করে, যার ফলে টরাসের ওপর ফায়ারিং বাম্পটি ঠিক প্রাণীর শারীরিক বেগের সমানুপাতিক হারে সঞ্চালিত হয়।
৪. মাল্টি-স্কেল মডিউল ও চাইনিজ রিমাইন্ডার উপপাদ্য
এন্টোরহাইনাল কর্টেক্সে গ্রিডের স্কেল বা আকার $approx ১.৪$ জ্যামিতিক অনুপাতে ক্রমান্বয়ে বৃদ্ধি পায় (৩০ সেমি থেকে ৫ মিটার পর্যন্ত)। গাণিতিকভাবে এটি মূলত চাইনিজ রিমাইন্ডার উপপাদ্য (Chinese Remainder Theorem)-এর এক নিখুঁত জীবতাত্ত্বিক বাস্তবায়ন। বিভিন্ন কম্পাঙ্কের কয়েকটি গ্রিড মডিউলের ফেজ একত্রিত করে মস্তিষ্ক কিলোমিটারের পর কিলোমিটার স্থানকে কোনো প্রকার অস্পষ্টতা ছাড়াই নিখুঁতভাবে মনে রাখতে পারে।
