ক্ল্যাসিক্যাল তথ্য তত্ত্বের (ক্লড শ্যানন, ১৯৪৮) ভিত্তি হলো বাইনারি ডিজিট বা বিট—যা কেবল ০ অথবা ১ নামক দুটি বিচ্ছিন্ন অবস্থার যেকোনো একটিতে অবস্থান করতে পারে। বর্তমানের সমস্ত সিলিকন কম্পিউটার ট্রানজিস্টরের ভোল্টেজের এই দুটি নির্দিষ্ট মানকে প্রক্রিয়াজাত করে পরিচালিত হয়। কিন্তু প্রকৃতির ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র পরমাণু ও অতিপারমাণবিক কণার ভৌত জগৎ ক্ল্যাসিক্যাল নিয়ম মেনে চলে না। ১৯৮২ সালে রিচার্ড ফাইনম্যান দেখিয়েছিলেন যে, ক্ল্যাসিক্যাল টুরিং মেশিন দিয়ে কোয়ান্টাম কণার জটিল আচরণ সিমুলেট করতে গেলে মেমোরি ও গণনার সময় এক্সপোনেনশিয়াল হারে বিস্ফোরিত হয়। কোয়ান্টাম তথ্যের এই মৌলিকতম পরমাণু বা ভিত্তি হলো কিউবিট (Qubit বা Quantum Bit)। জটিল হিলবার্ট স্পেস এবং সুপারপজিশনের মাধ্যমে একটি একক কিউবিট অসীম সংখ্যক অবস্থার এক অবিচ্ছিন্ন বলয় তৈরি করতে পারে, যার জ্যামিতিক রূপ পরিচিত ব্লখ গোলক (Bloch Sphere) নামে।

১. কিউবিটের গাণিতিক ভিত্তি

গাণিতিকভাবে একটি কিউবিট হলো দ্বিমাত্রিক জটিল হিলবার্ট স্পেসের ($mathcal{H}_2 cong mathbb{C}^2$) একটি স্টেট ভেক্টর। পল ডিরাকের ব্র্যা-কেট (Bra-Ket) নোটেশনে কম্পিউটেশনাল বেসিস ভেক্টর দুটিকে লেখা হয়:

$$|0rangle = begin{pmatrix} 1 \ 0 end{pmatrix}, quad |1rangle = begin{pmatrix} 0 \ 1 end{pmatrix} quad text{যেখানে} quad langle 0|0 rangle = langle 1|1 rangle = 1, quad langle 0|1 rangle = 0$$

কোয়ান্টাম সুপারপজিশনের নীতি অনুযায়ী, একটি কিউবিট একই সাথে $|0rangle$ এবং $|1rangle$-এর যেকোনো রৈখিক সংমিশ্রণে থাকতে পারে, যা দুটি জটিল সংখ্যা $alpha, beta in mathbb{C}$ দ্বারা নির্ধারিত হয়:

$$|psirangle = alpha |0rangle + beta |1rangle = begin{pmatrix} alpha \ beta end{pmatrix}$$

যেহেতু পরিমাপের সময় সিস্টেমের কোনো না কোনো অবস্থায় পাওয়ার সম্ভাবনা শতভাগ হতে হবে, তাই সম্ভাবনার সমষ্টিকে সর্বদা ১ হতে হয়, যাকে নরমালাইজেশন শর্ত বলা হয়:

$$langle psi | psi rangle = |alpha|^2 + |beta|^2 = 1$$

২. গ্লোবাল ফেজ ও ব্লখ গোলকের রূপান্তর ($mathbb{C}P^1$)

দুটি জটিল সংখ্যা $alpha$ এবং $beta$-তে মোট ৪টি বাস্তব চলক থাকে। নরমালাইজেশন শর্ত ($|alpha|^2 + |beta|^2 = 1$) এটিকে একটি ত্রিমাত্রিক গোলকের পৃষ্ঠে ($mathbb{S}^3$) সীমাবদ্ধ করে। কিন্তু কোয়ান্টাম মেকানিক্সে কোনো স্টেটকে একটি গ্লোবাল ফেজ $e^{igamma}$ দিয়ে গুণ করলে বাস্তব জগতের কোনো পরিমাপে কোনো পরিবর্তন আসে না:

$$langle psi | e^{-igamma} hat{A} e^{igamma} | psi rangle = langle psi | hat{A} | psi rangle$$

এই গ্লোবাল ফেজকে বাদ দিলে জটিল প্রজেক্টিভ স্পেস $mathbb{C}P^1$-এর জ্যামিতিক রূপ দাঁড়ায় একটি নিখুঁত দ্বিমাত্রিক গোলক পৃষ্ঠে ($mathbb{S}^2$), যাকে পদার্থবিজ্ঞানী ফেলিক্স ব্লখের নামানুসারে ব্লখ গোলক (Bloch Sphere) বলা হয়।

৩. ব্লখ গোলকের কোণীয় স্থানাঙ্ক ($theta, phi$)

যেকোনো বিশুদ্ধ কোয়ান্টাম অবস্থাকে মাত্র দুটি কোণের মাধ্যমে অনন্যভাবে ব্লখ গোলকের পৃষ্ঠে বসানো যায়: পোলার কোণ $theta in [0, pi]$ এবং অ্যাজিমুথাল কোণ $phi in [0, 2pi)$:

$$|psirangle = cosleft(frac{theta}{2}right)|0rangle + e^{iphi}sinleft(frac{theta}{2}right)|1rangle$$

ত্রিমাত্রিক স্পেসে এর স্থানাঙ্ক ভেক্টর $vec{r} = (r_x, r_y, r_z)$ হয়:

$$r_x = sinthetacosphi, quad r_y = sinthetasinphi, quad r_z = costheta$$

ব্লখ গোলকের প্রধান বিন্দুসমূহ

  • উত্তর মেরু ($theta = 0$): $|0rangle$, স্থানাঙ্ক $(0, 0, 1)$।
  • দক্ষিণ মেরু ($theta = pi$): $|1rangle$, স্থানাঙ্ক $(0, 0, -1)$।
  • এক্স-অক্ষ ($X+$): $|+rangle = frac{1}{sqrt{2}}(|0rangle + |1rangle)$, স্থানাঙ্ক $(1, 0, 0)$।
  • বিপরীত এক্স-অক্ষ ($X-$): $|-rangle = frac{1}{sqrt{2}}(|0rangle – |1rangle)$, স্থানাঙ্ক $(-1, 0, 0)$।

৪. অর্থোগোনালিটি ও ১৮০ ডিগ্রির রহস্য

হিলবার্ট স্পেসে দুটি ভেক্টর পরস্পর অর্থোগোনাল বা লম্বমান ($langle psi | psi_perp rangle = 0$) হওয়া সত্ত্বেও ব্লখ গোলকে তারা কিন্তু ৯০ ডিগ্রি কোণে থাকে না। সমীকরণে $theta/2$ থাকার কারণে ব্লখ গোলকে অর্থোগোনাল স্টেটগুলো থাকে একে অপরের সম্পূর্ণ বিপরীত মেরুতে (১৮০ ডিগ্রি বা Antipodal)। যেমন उत्तर মেরু $|0rangle$-এর অর্থোগোনাল হলো দক্ষিণ মেরু $|1rangle$।

৫. কোয়ান্টাম পরিমাপের স্বীকার্য ও ওয়েভফাংশন কলাপ্স

পরিমাপের পূর্বে একটি কিউবিট ব্লখ গোলকের যেকোনো বিন্দুতে অবস্থান করলেও, যখনই তার ওপর ক্ল্যাসিক্যাল পরিমাপ চালানো হয়, তখন ম্যাক্স বর্নের (Max Born, 1926) নিয়ম অনুযায়ী:

$$P(0) = |alpha|^2 = cos^2left(frac{theta}{2}right), quad P(1) = |beta|^2 = sin^2left(frac{theta}{2}right)$$

পরিমাপের সাথে সাথে কিউবিটের সুপারপজিশন চিরতরে ধ্বংস হয়ে যায় (State Collapse) এবং কিউবিটটি তৎক্ষণাৎ হয় উত্তর মেরু $|0rangle$, নয়তো দক্ষিণ মেরু $|1rangle$-এ পতিত হয়। কোয়ান্টাম কম্পিউটিংয়ের আসল জাদু হলো পরিমাপ করার আগেই লজিক গেটের সাহায্যে ভুল উত্তরগুলোর মাঝে ডেস্ট্রাকটিভ ইন্টারফেয়ারেন্স ঘটিয়ে বাতিল করে দেওয়া এবং সঠিক উত্তরের অ্যাম্প্লিচিউডকে বহুগুণ বাড়িয়ে নিশ্চিত ফলাফলে রূপান্তর করা।

শাকিল মাহমুদ সজল

শাকিল মাহমুদ সজল

সফটওয়্যার প্রকৌশলী ও লেখক, ঢাকা, বাংলাদেশ। কম্পিউটার বিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, ইতিহাস ও ভাবনার সমন্বয়ে ব্যক্তিগত নোট ও প্রবন্ধ সংকলন।