শোরের ৯-কিউবিট কোডের পর রবার্ট ক্যালডারব্যাঙ্ক, পিটার শোর এবং অ্যান্ড্রু স্টিন স্বতন্ত্রভাবে উদ্ভাবন করেন CSS কোড ফ্রেমওয়ার্ক। এটি ক্ল্যাসিক্যাল বীজগণিতীয় কোডিং থিওরি (বিশেষ করে লিনিয়ার ডুয়াল কোড) এবং কোয়ান্টাম এরর কারেকশনের মধ্যে একটি ঐতিহাসিক সেতুবন্ধন রচনা করে। এই কাঠামোর শ্রেষ্ঠ নিদর্শন হলো স্টিন $[[7, 1, 3]]$ কোড, যা সাতটি ফিজিক্যাল কিউবিটের মধ্যে একটি লজিক্যাল কিউবিট ধারণ করে এবং এর চমৎকার ট্রান্সভার্সাল ক্লিফোর্ড গেট বৈশিষ্ট্যের কারণে ফল্ট-টলারেন্ট কোয়ান্টাম সার্কিট নির্মাণকে অত্যন্ত সহজ করে তোলে।

১. CSS কোডের বীজগণিতীয় রূপরেখা

ধরা যাক $C_1$ এবং $C_2$ দুটি ক্ল্যাসিক্যাল বাইনারি লিনিয়ার কোড যাদের ব্লক দৈর্ঘ্য $n$ এবং তারা শর্ত পূরণ করে $C_2^perp subset C_1$ (যেখানে $C_2^perp$ হলো $C_2$-এর ডুয়াল কোড)। একটি CSS কোড $k = k_1 – k_2$ সংখ্যক লজিক্যাল কিউবিট এনকোড করে $n$ টি ফিজিক্যাল কিউবিটে:

[
|w + C_2^perprangle = frac{1}{sqrt{|C_2^perp|}} sum_{y in C_2^perp} |w + yrangle
]

ক্ল্যাসিক্যাল প্যারিটি-চেক ম্যাট্রিক্স $H(C_1)$ তৈরি করে $Z$-টাইপ স্ট্যাবিলাইজার (বিট-ফ্লিপ নির্ণায়ক) এবং $H(C_2)$ তৈরি করে $X$-টাইপ স্ট্যাবিলাইজার (ফেজ-ফ্লিপ নির্ণায়ক)। যেহেতু $C_2^perp subset C_1$, তাই সকল স্ট্যাবিলাইজার পরস্পরের সাথে নিখুঁতভাবে কমিউট করে!

২. স্টিন ৭-কিউবিট কোড: হ্যামিং জ্যামিতি

স্টিন কোড তৈরি হয় ক্ল্যাসিক্যাল $[7, 4, 3]$ হ্যামিং কোড থেকে। হ্যামিং কোডের প্যারিটি চেক ম্যাট্রিক্স $H$ হলো:

[
H = begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1
end{pmatrix}
]

কোয়ান্টাম $[[7, 1, 3]]$ কোডে এই ৩টি সারি থেকে ৩টি $Z$-স্ট্যাবিলাইজার এবং ৩টি $X$-স্ট্যাবিলাইজার তৈরি হয় (মোট ৬টি জেনারেটর):

[
begin{aligned}
S_{Z1} &= I I I Z Z Z Z, & S_{X1} &= I I I X X X X \
S_{Z2} &= I Z Z I I Z Z, & S_{X2} &= I X X I I X X \
S_{Z3} &= Z I Z I Z I Z, & S_{X3} &= X I X I X I X
end{aligned}
]

৭টি ফিজিক্যাল কিউবিট এবং ৬টি স্বাধীন স্ট্যাবিলাইজার থাকার ফলে কোড স্পেসের মাত্রা হয় $2^{7 – 6} = 2^1 = 2$, যা ঠিক ১টি লজিক্যাল কিউবিট ধারণ করে এবং এর দূরত্ব $d = 3$ (যেকোনো একটি কিউবিটের ত্রুটি সম্পূর্ণ সংশোধন করতে পারে)।

৩. ট্রান্সভার্সাল গেট ও ফল্ট টলারেন্স

স্টিন কোডের সবচেয়ে বড় স্থাপত্যিক সুবিধা হলো এর ট্রান্সভার্সালিটি (Transversality)। একটি লজিক্যাল গেটকে যদি সংশ্লিষ্ট ফিজিক্যাল কিউবিটগুলোর ওপর সরাসরি একক গেটের টেনসর গুণফল হিসেবে প্রয়োগ করা যায় ($U_L = bigotimes U_i$), তবে তাকে ট্রান্সভার্সাল গেট বলে। এর ফলে একটি কিউবিটের হার্ডওয়্যার ত্রুটি অন্য কিউবিটে ছড়িয়ে পড়তে পারে না।

স্টিন কোডে ট্রান্সভার্সাল ক্লিফোর্ড গ্রুপ
  • লজিক্যাল হ্যাডামার্ড: $H_L = H^{otimes 7}$
  • লজিক্যাল ফেজ গেট ($S$): $S_L = (S^dagger)^{otimes 7}$
  • লজিক্যাল CNOT: দুটি কোড ব্লকের মধ্যে সরাসরি প্যারালাল CNOT: $text{CNOT}_L = bigotimes_{i=1}^7 text{CNOT}_{A_i to B_i}$

৪. ইস্টিন-নিল উপপাদ্য ও ইউনিভার্সাল কম্পিউটেশন

২০০৯ সালে ব্রায়ান ইস্টিন এবং ইমানুয়েল নিল প্রমাণ করেন বিখ্যাত ইস্টিন-নিল উপপাদ্য (Eastin-Knill Theorem): কোনো কোয়ান্টাম এরর-কারেক্টিং কোডই কেবল ট্রান্সভার্সাল অপারেশনের মাধ্যমে সার্বজনীন (Universal) কোয়ান্টাম গেট সেট বাস্তবায়ন করতে পারে না।

যেহেতু ক্লিফোর্ড গ্রুপ ক্লাসিক্যালি সিমুলেট করা সম্ভব, তাই ইউনিভার্সাল কম্পিউটেশনের জন্য প্রয়োজন নন-ক্লিফোর্ড গেট (যেমন $T = text{diag}(1, e^{ipi/4})$)। স্টিন কোডে এই $T$ গেট বাস্তবায়নের জন্য ম্যাজিক স্টেট ডিস্টিলেশন (Magic State Distillation) প্রক্রিয়া ব্যবহার করা হয়।

শাকিল মাহমুদ সজল

শাকিল মাহমুদ সজল

সফটওয়্যার প্রকৌশলী ও লেখক, ঢাকা, বাংলাদেশ। কম্পিউটার বিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, ইতিহাস ও ভাবনার সমন্বয়ে ব্যক্তিগত নোট ও প্রবন্ধ সংকলন।