১৯৯০-এর দশকের শুরুতে বিশ্বের শীর্ষস্থানীয় পদার্থবিজ্ঞানীদের অনেকেই বিশ্বাস করতেন যে ব্যবহারিক স্কেলে কোয়ান্টাম কম্পিউটার তৈরি করা অসম্ভব। তাদের এই সন্দেহের পেছনে তিনটি অনতিক্রম্য তাত্ত্বিক বাধা ছিল: নো-ক্লোনিং উপপাদ্য অনুযায়ী অজানা কোয়ান্টাম স্টেট কপি করে মেজরিটি ভোটিং করা যায় না; কোয়ান্টাম ত্রুটি অবিচ্ছিন্ন বা কন্টিনিউয়াস ($theta in [0, 2pi]$ ফেজ বিচ্যুতি); এবং পরিমাপ করলেই সুপারপজিশন নষ্ট হয়ে যায়। ১৯৯৫ সালে পিটার শোর বিশ্বের প্রথম কোয়ান্টাম এরর কারেকশন কোড (QECC) আবিষ্কার করে প্রমাণ করেন যে, একাধিক কিউবিটের মধ্যে তথ্য নন-লোকালি বা এন্ট্যাঙ্গেলমেন্টের মাধ্যমে ছড়িয়ে দিয়ে মূল স্টেট নষ্ট না করেই সিন্ড্রোম পরিমাপের মাধ্যমে নিখুঁতভাবে ত্রুটি দূর করা সম্ভব।
১. ৩-কিউবিট বিট-ফ্লিপ কোড
কোয়ান্টাম এরর কারেকশন বোঝার সবচেয়ে সহজ উদাহরণ হলো ৩-কিউবিট বিট-ফ্লিপ কোড। এখানে একটি একক লজিক্যাল কিউবিট $|psi_Lrangle = alpha|0_Lrangle + beta|1_Lrangle$-কে তিনটি ফিজিক্যাল কিউবিটের সাবস্পেসে এনকোড করা হয়:
[
|0_Lrangle = |000rangle, quad |1_Lrangle = |111rangle
]
এনকোডিং প্রক্রিয়ায় দুটি CNOT গেট ব্যবহার করা হয়:
[
(alpha|0rangle + beta|1rangle)|00rangle to alpha|000rangle + beta|111rangle
]
এখানে কিন্তু কোনো কপি তৈরি হয়নি, বরং একটি ৩-কিউবিট এন্ট্যাঙ্গেল্ড স্টেট গঠিত হয়েছে।
স্টেট বিনষ্ট না করে সিন্ড্রোম পরিমাপ
যদি পরিবেশের কারণে যেকোনো একটি কিউবিটে বিট ফ্লিপ ($X$) ঘটে, তবে কিউবিটগুলোকে সরাসরি পরিমাপ না করে আমরা দুটি সমন্বিত বা কমিউটেটিভ অবজারভেবল (Stabilizers) পরিমাপ করি:
[
S_1 = Z_1 Z_2 = Z otimes Z otimes I, quad S_2 = Z_2 Z_3 = I otimes Z otimes Z
]
যেহেতু পাউলি $Z$-এর আইগেনভ্যালু $pm 1$, তাই $Z_i Z_j$-এর মান $+1$ হলে সংশ্লিষ্ট কিউবিট দুটি একই অবস্থায় আছে, আর $-1$ হলে তারা বিপরীত অবস্থায় আছে। সিন্ড্রোম টেবিল থেকে সরাসরি ত্রুটি শনাক্ত করা যায়:
- $(+1, +1) implies$ কোনো ত্রুটি নেই।
- $(-1, +1) implies$ কিউবিট ১ উল্টে গেছে $to$ $X_1$ প্রয়োগ করে সমাধান।
- $(-1, -1) implies$ কিউবিট ২ উল্টে গেছে $to$ $X_2$ প্রয়োগ করে সমাধান।
- $(+1, -1) implies$ কিউবিট ৩ উল্টে গেছে $to$ $X_3$ প্রয়োগ করে সমাধান।
গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হলো, সিন্ড্রোম পরিমাপে $alpha$ বা $beta$-র মান উন্মোচিত হয় না; ফলে সুপারপজিশন অক্ষত রেখে ত্রুটি সংশোধন করা যায়!
২. ৩-কিউবিট ফেজ-ফ্লিপ কোড
কোয়ান্টামে কেবল বিট পরিবর্তন নয়, ফেজ উল্টে যাওয়াও ($Z |1rangle = -|1rangle$) একটি মারাত্মক ত্রুটি। হ্যাডামার্ড ভিত্তিমূল ${|+rangle, |-rangle}$-এ রূপান্তর করলে পাউলি $Z$ আসলে বিট-ফ্লিপের মতো আচরণ করে ($HZH = X$):
[
|0_Lrangle = |+++rangle, quad |1_Lrangle = |—rangle
]
এখানে স্ট্যাবিলাইজার $X_1 X_2$ এবং $X_2 X_3$ পরিমাপের মাধ্যমে যেকোনো একক ফেজ-ফ্লিপ শনাক্ত ও সংশোধন করা সম্ভব।
৩. শোরের ৯-কিউবিট কোড ও অবিচ্ছিন্ন ত্রুটির ডিজিটাইজেশন
একই সাথে বিট-ফ্লিপ ও ফেজ-ফ্লিপ উভয় ত্রুটি প্রতিহত করতে শোর ৩-কিউবিট ফেজ কোড এবং ৩-কিউবিট বিট কোডকে কনক্যাটেনেট (একত্রিত) করেন। ফলে তৈরি হয় ঐতিহাসিক ৯-কিউবিট কোড:
[
|0_Lrangle = frac{1}{2sqrt{2}} (|000rangle + |111rangle)(|000rangle + |111rangle)(|000rangle + |111rangle)
]
[
|1_Lrangle = frac{1}{2sqrt{2}} (|000rangle – |111rangle)(|000rangle – |111rangle)(|000rangle – |111rangle)
]
যদি কিউবিটের ওপর একটি অতি ক্ষুদ্র অবিচ্ছিন্ন কোণ $theta$-র রোটেশন ত্রুটি $U_theta = costheta I + isintheta X$ ঘটে, তবে সিন্ড্রোম পরিমাপের সময় কোয়ান্টাম মেকানিক্স সিস্টেমটিকে কলাপ্স করিয়ে দেয়: হয় স্টেটটি $cos^2theta$ সম্ভাবনায় নিখুঁত অবস্থায় থাকে, অথবা $sin^2theta$ সম্ভাবনায় পূর্ণ পাউলি $X$ ত্রুটিতে পরিণত হয়। ফলে সিন্ড্রোম পরিমাপের মাধ্যমেই প্রকৃতি অবিচ্ছিন্ন ত্রুটিকে ডিসক্রিট বা ডিজিটাল ত্রুটিতে রূপান্তর করে!
