কোয়ান্টাম ইনফরমেশন ও কোয়ান্টাম কম্পিউটিং (পর্ব ১৬): টপোলজিক্যাল কোয়ান্টাম ম্যাটার ও নন-অ্যাবিলিয়ান এনিয়ন: ব্রেইডিং কম্পিউটেশন

ত্রিমাত্রিক ভৌত জগতে সকল মৌলিক কণা কঠোরভাবে দুই ভাগে বিভক্ত: বোসন অথবা ফার্মিয়ন। কিন্তু দ্বিমাত্রিক তলে (2D) কণার গতিপথ সম্পূর্ণ নতুন এক জ্যামিতিক স্বাধীনতার জন্ম দেয়: এখানে কণার ওয়ার্ল্ডলাইন স্থান-কালের মধ্যে জট বা ব্রেইড (Braid) তৈরি করে। যেসব কণার বিনিময়ে কেবল প্লাস বা মাইনাস চিহ্ন নয়, বরং যেকোনো জটিল ফেজ কিংবা অ-বিনিময়যোগ্য ইউনিটারি ম্যাট্রিক্স রূপান্তর ঘটে, তাদেরকে বলা হয় এনিয়ন (Anyons)। অ্যালেক্সি কিতায়েভ এবং ফিল্ডস পদকপ্রাপ্ত গণিতবিদ মাইকেল ফ্রিডম্যানের উদ্ভাবিত টপোলজিক্যাল কোয়ান্টাম কম্পিউটিং এই নন-অ্যাবিলিয়ান এনিয়ন ব্যবহার করে স্থানিক টপোলোজিতে তথ্য সংরক্ষণ করে, যা কোনো সক্রিয় এরর কারেকশন ছাড়াই পরিবেশীয় ডিকোহেরেন্স থেকে সম্পূর্ণ সুরক্ষিত থাকে।

১. দ্বিমাত্রিক তলে কণা বিনিময়ের টপোলজি

ত্রিমাত্রিক স্থানে কণা বিনিময়ের ফান্ডামেন্টাল গ্রুপ হলো পারমিউটেশন গ্রুপ $S_N$, যার কেবল দুটি ১-মাত্রিক রিপ্রেজেন্টেশন বিদ্যমান (+১ বোসন, -১ ফার্মিয়ন)। কিন্তু দ্বিমাত্রিক স্থানে ফান্ডামেন্টাল গ্রুপটি হলো আর্টিনের ব্রেইড গ্রুপ ($B_N$):

[
sigma_i sigma_{i+1} sigma_i = sigma_{i+1} sigma_i sigma_{i+1}
]

এই ব্রেইড গ্রুপের কারণে দ্বিমাত্রিক স্থানে কণাগুলো বোসন বা ফার্মিয়নের সীমানা অতিক্রম করে এনিয়নিক রূপ পরিগ্রহ করে।

২. অ্যাবিলিয়ান বনাম নন-অ্যাবিলিয়ান এনিয়ন

• অ্যাবিলিয়ান এনিয়ন: দুটি কণার স্থান বিনিময়ে সামগ্রিক তরঙ্গ ফাংশন কেবল একটি ফেজ ফ্যাক্টর $e^{itheta}$ দ্বারা গুণিত হয় (যেমন ফ্র্যাকশনাল কোয়ান্টাম হল ইফেক্ট $nu = 1/3$)।
• নন-অ্যাবিলিয়ান এনিয়ন: একাধিক স্থির এনিয়নিক কণার একটি বহুমাত্রিক অবক্ষয়যুক্ত গ্রাউন্ড স্টেট সাবস্পেস থাকে। একটি এনিয়নকে অপরটির চারপাশ দিয়ে ঘুরিয়ে আনলে (Braid) পুরো কোয়ান্টাম স্টেট স্পেসে একটি ইউনিটারি ম্যাট্রিক্স রোটেশন ঘটে:
  [
  |psi_arangle xrightarrow{sigma_i} sum [R_i]_{ab} |psi_brangle
  ]
  এখানে কোনো ফেজ নয়, সরাসরি কোয়ান্টাম গেট এক্সিকিউট হয় কণাগুলোর জট বা প্যাঁচানোর মাধ্যমে!

৩. মাজোরানা জিরো মোডস (Majorana Zero Modes)

ল্যাবরেটরিতে নন-অ্যাবিলিয়ান এনিয়নিক বৈশিষ্ট্য প্রদর্শনের সবচেয়ে বাস্তবসম্মত প্ল্যাটফর্ম হলো মাজোরানা জিরো মোডস (MZMs)। এগুলো হলো অর্ধপরিবাহী ন্যানোওয়্যারের প্রান্তে সৃষ্ট এমন এক ধরনের কোয়াসিপার্টিকল যা নিজেই নিজের প্রতিকণা ($gamma = gamma^dagger$)।

দুটি মাজোরানা কণা $gamma_1, gamma_2$ স্থানিক দূরত্বে আলাদা থেকে একটি যৌথ নন-লোকাল ফার্মিয়ন তৈরি করে। এদের স্থান পরিবর্তন করলে একটি নন-অ্যাবিলিয়ান ব্রেইডিং অপারেটর প্রযুক্ত হয়:

[
R_{12} = frac{1}{sqrt{2}}(1 + gamma_1 gamma_2)
]

মাইক্রোসফট কোয়ান্টাম ল্যাব এই মাজোরানা আর্কিটেকচারভিত্তিক টপোলজিক্যাল কিউবিট তৈরিতে বিশ্বব্যাপী নেতৃত্ব দিচ্ছে।

৪. হার্ডওয়্যার-লেভেল ফল্ট টলারেন্স

টপোলজিক্যাল কম্পিউটিংয়ের সবচেয়ে বড় বিপ্লবী দিক হলো, এখানে সারফেস কোডের মতো প্রতি ১টি লজিক্যাল কিউবিটের জন্য হাজার হাজার ফিজিক্যাল কিউবিটের প্রয়োজন নেই। যেহেতু তথ্য সংরক্ষিত থাকে কণাগুলোর দূরবর্তী টপোলজিক্যাল কনফিগারেশনে, তাই স্থানীয় কোনো তাপীয় নয়েজ বা চৌম্বক ক্ষেত্র এই তথ্য স্পর্শ করতে পারে না। এটি কোয়ান্টাম হার্ডওয়্যার গবেষণার চূড়ান্ত রূপরেখা।

শাকিল মাহমুদ সজল

সফটওয়্যার প্রকৌশলী ও লেখক, ঢাকা, বাংলাদেশ। কম্পিউটার বিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, ইতিহাস ও ভাবনার সমন্বয়ে ব্যক্তিগত নোট ও প্রবন্ধ সংকলন।