জ্ঞান বদলে দেওয়া সমীকরণসমূহ (পর্ব ২): ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য — নিউটন, লাইবনিজ এবং অবিচল পরিবর্তনের গণিত

সপ্তদশ শতাব্দীর মধ্যভাগের আগে পর্যন্ত মানবজাতির গণিত ছিল মূলত স্থবির। প্রাচীন ইউক্লিডীয় জ্যামিতি ও অ্যাপোলোনিয়াসের কনিক চিত্র বৃত্ত, ত্রিভুজ বা উপবৃত্তের স্থির রূপ নিখুঁতভাবে ব্যাখ্যা করতে পারত; কিন্তু বাস্তব মহাবিশ্ব হলো অবিরাম গতির মহাকাব্য—বায়ুর ঘর্ষণে ধেয়ে চলা কামানের গোলার মন্দন, মহাকর্ষের টানে গ্রহের ত্বরণ কিংবা ফুটন্ত পানিতে তাপের সঞ্চালন। প্রায় দুই হাজার বছর ধরে প্রাকৃতিক দর্শনে দুটি সমস্যা সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন রয়ে গিয়েছিল: একটি ছিল বক্ররেখার কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে তাৎক্ষণিক ঢাল বা স্পর্শক নির্ণয়, আর অন্যটি ছিল বক্ররেখার নিচে আবদ্ধ এলাকার ক্ষেত্রফল বের করা। আইজ্যাক নিউটন এবং গটফ্রিড উইলহেম লাইবনিজের অবিস্মরণীয় কীর্তি ছিল এটি প্রমাণ করা যে, এই দুটি ভিন্ন সমস্যা আসলে একই মুদ্রার এপিঠ-ওপিঠ: ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য।

১. দ্বৈত সংকট: স্পর্শক বনাম ক্ষেত্রফল

চিরায়ত জ্যামিতিতে স্পর্শক নির্ণয় ছিল মূলত অন্তরীকরণের (Differentiation) সমস্যা: একটি অপেক্ষক $f(x)$-এর কোনো ক্ষণিক মুহূর্তে পরিবর্তনের হার কত? একটি পড়ন্ত বস্তু যদি $s(t)$ সূত্র মেনে নিচে নামে, তবে শূন্য দিয়ে শূন্যকে ভাগ না করে ঠিক $t = ৩.০$ সেকেন্ডে তার বেগ কত হবে?

অন্যদিকে বক্ররেখার নিচের ক্ষেত্রফল নির্ণয় ছিল সমাকলনের (Integration) কাজ। আর্কিমিডিস অধিবৃত্তের ভেতরে অগণিত ক্ষুদ্র বহুভুজ বসিয়ে ক্লান্তিকর “এক্সহশন পদ্ধতিতে” এর সমাধান করতেন। পরবর্তীতে ফের্মা ও দেকার্তে অগ্রগতি আনলেও প্রতিটি নতুন বক্ররেখার জন্য নতুন করে মাথা ঘামাতে হতো।

নিউটন ও লাইবনিজ প্রথম বুঝতে পারেন যে তাৎক্ষণিক পরিবর্তনের হার এবং ক্রমবর্ধমান সমষ্টি পরস্পর বিপরীতমুখী প্রক্রিয়া। গাণিতিক ভাষায়:

$$frac{d}{dx} left( int_a^x f(t),dt right) = f(x)$$

$$int_a^b f(x),dx = F(b) – F(a) quad text{যেখানে } F'(x) = f(x)$$

এই সূত্রের দ্বিতীয় অংশটি বিজ্ঞানকে এক অপার মুক্তি দিল: যেকোনো অবিচ্ছিন্ন বক্ররেখার নিচের মোট ক্ষেত্রফল পেতে আর অসীমসংখ্যক ক্ষুদ্র ক্ষেত্রফল যোগ করতে হয় না; কেবল তার অ্যান্টি-ডেরিভেটিভ $F(x)$ বের করে প্রান্তিক বিন্দু দুটিতে মান বসিয়ে বিয়োগ করলেই উত্তর পাওয়া যায়।

২. নিউটনের ফ্লাক্সিয়ন বনাম লাইবনিজের ডিফারেনশিয়াল

১৬৬৫-১৬৬৬ সালে লন্ডনের প্লেগের সময় উলসথর্পের পারিবারিক খামারে নিভৃতবাসে থাকা অবস্থায় তরুণ নিউটন তাঁর “মেথড অব ফ্লাক্সিয়ন” তৈরি করেন। তিনি পরিবর্তনশীল রাশিগুলোকে প্রবাহমান জলধারার মতো দেখতেন এবং তাদের বেগকে চিহ্নিত করতেন অক্ষরের ওপর বিন্দু বসিয়ে ($dot{x}, dot{y}$)।

এক দশক পরে প্যারিসে স্বাধীনভাবে কাজ করতে গিয়ে জার্মান দার্শনিক লাইবনিজ প্রতীকী যুক্তির দিক থেকে সমস্যাটির সমাধান করেন। লাইবনিজ এমন এক সার্বজনীন নোটেশন তৈরি করলেন যা আজও প্রতিটি বিজ্ঞানের বইয়ে ব্যবহৃত হয়: ল্যাটিন Summa শব্দের আদি অক্ষর থেকে সমাকলন চিহ্ন ($int$) এবং পার্থক্যের প্রতীক ($d$):

$$frac{dy}{dx} = lim_{Delta x to 0} frac{f(x + Delta x) – f(x)}{Delta x}$$

নিউটন যেখানে মহাকর্ষের ভৌত সমস্যা মেটানোর জন্য ক্যালকুলাস ব্যবহার করেছিলেন, লাইবনিজ জানতেন যে সঠিক প্রতীক চিন্তার গতি বাড়িয়ে দেয়। লাইবনিজের নোটেশনের কারণেই বার্নৌলি পরিবার ও অয়লার ইউরোপজুড়ে গাণিতিক বিশ্লেষণের স্বর্ণযুগ সূচনা করতে পেরেছিলেন।

৩. আধুনিক কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তার চালিকাশক্তি: চেইন রুল ও গ্রেডিয়েন্ট ডিসেন্ট

আজকের যুগে ক্যালকুলাস কেবল রকেট বিজ্ঞান বা কোয়ান্টাম বলবিদ্যার ভাষা নয়; এটি আধুনিক ডিপ লার্নিং ও কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তার মূল হৃৎস্পন্দন।

যেকোনো বৃহৎ নিউরাল নেটওয়ার্ক বা এআই মডেল তার ক্ষতি অপেক্ষক (Loss Function) $mathcal{L}(theta)$ কমানোর মাধ্যমে শেখে। শত শত বিলিয়ন ওজনের গভীর স্তরে ভুলের সংকেত পৌঁছে দেওয়ার জন্য ব্যবহৃত হয় ক্যালকুলাসের বহুমাত্রিক চেইন রুল (Chain Rule):

$$frac{partial mathcal{L}}{partial w_{ij}} = frac{partial mathcal{L}}{partial a_j} cdot frac{partial a_j}{partial z_j} cdot frac{partial z_j}{partial w_{ij}}$$

এবং গ্রেডিয়েন্ট ডিসেন্ট অ্যালগরিদমের মাধ্যমে ধাপে ধাপে মডেলটি অপ্টিমাইজ করা হয়:

$$theta_{t+1} = theta_t – eta nabla_theta mathcal{L}(theta)$$

ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য ছাড়া আধুনিক ডিপ লার্নিং, আধুনিক রোবোটিক্স কিংবা আবহাওয়ার পূর্বাভাসের অস্তিত্বই কল্পনা করা যেত না।

শাকিল মাহমুদ সজল

সফটওয়্যার প্রকৌশলী ও লেখক, ঢাকা, বাংলাদেশ। কম্পিউটার বিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, ইতিহাস ও ভাবনার সমন্বয়ে ব্যক্তিগত নোট ও প্রবন্ধ সংকলন।