১৯২৮ সালে কেমব্রিজের সেন্ট জনস কলেজের ফায়ারপ্লেসের আগুনে দৃষ্টি নিবদ্ধ করে বসেছিলেন ২৫ বছর বয়সী অন্তর্মুখী ইংরেজ গণিতবিদ পল অ্যাড্রিয়েন মরিস ডিরাক। তৎকালীন পদার্থবিজ্ঞান এক মারাত্মক সংকটে নিপতিত ছিল: শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণ পরমাণুর ধীরগতির ইলেকট্রনদের ব্যাখ্যা করতে পারলেও আলোর কাছাকাছি গতিতে চলা আপেক্ষিক ইলেকট্রনের ক্ষেত্রে অচল হয়ে পড়ে। অন্যদিকে আপেক্ষিক ক্লেইন-গর্ডন সমীকরণে সময়ের দ্বিতীয় অন্তরক থাকার কারণে ঋণাত্মক সম্ভাবনার ($P < 0$) মতো অসম্ভব ফলাফল আসছিল। ডিরাক এমন একটি সমীকরণ খুঁজছিলেন যা একই সাথে সময়ের ও স্থানের সাপেক্ষে এক-ঘাতবিশিষ্ট (Linear) হবে এবং আইনস্টাইনের বিশেষ আপেক্ষিকতার কাঠামো রক্ষা করবে। ফোর-বাই-ফোর ম্যাট্রিক্সের এক সম্পূর্ণ নতুন বীজগণিত উদ্ভাবন করে ডিরাক মানব ইতিহাসের অন্যতম শ্রেষ্ঠ সমীকরণ রচনা করেন: ডিরাক সমীকরণ (The Dirac Equation)। এই একটি সমীকরণ কেবল কণার স্বকীয় কোয়ান্টাম স্পিনকেই ($S = 1/2$) ব্যাখ্যা করেনি, বরং বিশ্বজগৎকে এক অবিশ্বাস্য সত্যের মুখোমুখি দাঁড় করিয়ে দেয়: মহাবিশ্বের প্রতিটি কণার বিপরীতে ঠিক সমভর কিন্তু বিপরীত চার্জযুক্ত এক যমজ সত্তা বিদ্যমান—যার নাম প্রতিপদার্থ (Antimatter)।
১. সমীকরণের পরিচয়: আপেক্ষিক কোয়ান্টাম সুর
প্রাকৃতিক এককে ($hbar = c = 1$) ডিরাক সমীকরণটির সংক্ষিপ্ত ও নিখুঁত রূপ হলো:
এই সমীকরণের প্রতিটি উপাদান পদার্থবিজ্ঞানের ইতিহাসে সম্পূর্ণ নতুন ছিল:
- $partial_mu$: স্থান ও কালের চতুর্মাত্রিক গ্রেডিয়েন্ট ভেক্টর, যা সময় ও স্থানকে সমান মর্যাদা দেয়।
- $gamma^mu$ (ডিরাক গামা ম্যাট্রিক্স): চারটি $4 times 4$ জটিল ম্যাট্রিক্স, যা ক্লিফোর্ড বীজগণিতের অ্যান্টি-কমিউটেশন নীতি মেনে চলে: ${gamma^mu, gamma^nu} = 2eta^{munu} I_4$।
- $psi$ (ডিরাক স্পিনর): একটি চার উপাংশবিশিষ্ট কলাম ভেক্টর ($psi_1, psi_2, psi_3, psi_4$)। দুটি উপাংশ স্পিন-আপ ও স্পিন-ডাউন ইলেকট্রন বর্ণনা করে; অপর দুটি উপাংশ পজিট্রন বা প্রতিপদার্থকে বর্ণনা করে।
২. আপেক্ষিক অপারেটরের বর্গমূল ও স্পিনের জন্ম
আইনস্টাইনের আপেক্ষিক শক্তি সূত্র হলো $E^2 = p^2 + m^2$। ডিরাক প্রশ্ন করলেন: আমরা কি এই অপারেটরের বর্গমূল নিতে পারি? $sqrt{p^2 + m^2} = boldsymbol{alpha}cdotmathbf{p} + beta m$। উভয় পাশ বর্গ করলে দেখা যায় সহগগুলোকে অবশ্যই অ্যান্টি-কমিউট করতে হবে: $alpha_i alpha_j + alpha_j alpha_i = 0$। সাধারণ বাস্তব সংখ্যা কখনোই এই শর্ত পূরণ করতে পারে না; কেবল ন্যূনতম $4 times 4$ ম্যাট্রিক্সই এটি করতে পারে। অর্থাৎ কোয়ান্টাম কণার অর্ধ-পূর্ণসংখ্যা স্পিন ($S = 1/2$) কোনো আরোপিত ধর্ম নয়—এটি কোয়ান্টাম বলবিদ্যা ও বিশেষ আপেক্ষিকতার মিলনের এক অনিবার্য গাণিতিক ফল।
৩. ঋণাত্মক শক্তির সমুদ্র ও পজিট্রনের আবিষ্কার
ডিরাকের সমীকরণ দুটি সমাধান দেয়: ধনাত্মক শক্তি $E = +sqrt{p^2 + m^2}$ এবং ঋণাত্মক শক্তি $E = -sqrt{p^2 + m^2}$। ডিরাক এক অবিশ্বাস্য প্রস্তাব করলেন: মহাবিশ্বের শূন্য মাধ্যম মূলত ঋণাত্মক শক্তির ইলেকট্রনের এক পরিপূর্ণ অদৃশ্য সাগর (ডিরাক সি)। পাউলির অপবর্জন নীতির কারণে সাধারণ ইলেকট্রন সেখানে পড়ে যেতে পারে না। কিন্তু একটি উচ্চ শক্তির গামা রশ্মি ($hnu ge 2mc^2$) এই সাগরে আঘাত করলে একটি ঋণাত্মক ইলেকট্রন ছিটকে বের হয়ে আসে এবং সেখানে একটি খালি ‘গর্ত’ (Hole) তৈরি হয়। এই গর্তটিই আচরণ করে ধনাত্মক আধানযুক্ত ইলেকট্রন বা পজিট্রন হিসেবে। ১৯৩২ সালে কার্ল অ্যান্ডারসন মহাজাগতিক রশ্মিতে পজিট্রন আবিষ্কার করে ডিরাকের বিশুদ্ধ গাণিতিক ভবিষ্যৎবাণীকে সত্য প্রমাণ করেন।
