১৯২৫ সালের ক্রিসমাসের ছুটিতে ৩৮ বছর বয়সী অস্ট্রিয়ান পদার্থবিজ্ঞানী এরভিন শ্রোডিঙ্গার সুইজারল্যান্ডের আল্পস পর্বতমালার আরোহা নামক এক নির্জন স্বাস্থ্যনিবাসে ছুটি কাটাতে যান। সেই তুষারাবৃত আল্পসের নিরিবিলিতে মানব ইতিহাসের অন্যতম সেরা তাত্ত্বিক বিপ্লব সংঘটিত হয়। লুই দ্য ব্রগলির যুগান্তকারী হাইপোথিসিস—পদার্থের কণাগুলোও তরঙ্গের মতো আচরণ করে—দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়ে শ্রোডিঙ্গার বস্তুর তরঙ্গের জন্য একটি উপযুক্ত গাণিতিক সমীকরণ অনুসন্ধানে নামেন। মাত্র কয়েক সপ্তাহের ব্যবধানে তিনি নেমে আসেন পরমাণুর জগতের পরম চাবিকাঠি হাতে নিয়ে: শ্রোডিঙ্গারের তরঙ্গ সমীকরণ (Schrödinger’s Wave Equation)। এই একটি সমীকরণ নিলস বোরের বৃত্তাকার গ্রহতুল্য কক্ষপথের ত্রুটিপূর্ণ ধারণাকে চিরতরে বাতিল করে পরমাণুকে রূপান্তর করে ত্রি-মাত্রিক সম্ভাবনার সুরময় স্থির তরঙ্গে—যার ওপর ভিত্তি করে দাঁড়িয়ে আছে আধুনিক রসায়ন, অর্ধপরিবাহী সিলিকন চিপ, লেজার এবং কোয়ান্টাম কম্পিউটার।

১. সমীকরণের পরিচয়: কোয়ান্টাম জগতের গতিসূত্র

সময়ের ওপর নির্ভরশীল শ্রোডিঙ্গারের মূল সমীকরণটি হলো:

$$i hbar frac{partial psi}{partial t} = hat{H}psi = left( -frac{hbar^2}{2m}nabla^2 + V(mathbf{r}, t) right) psi$$

এবং স্থির শক্তির ক্ষেত্রে সময়-স্বাধীন রূপটি হলো:

$$hat{H}psi = Epsi$$

এই সমীকরণের প্রতিটি গাণিতিক সত্তা প্রকৃতির এক অভূতপূর্ব সত্য প্রকাশ করে:

  • $i = sqrt{-1}$ (কাল্পনিক একক): প্রকৃতির একটি মৌলিক গতিসূত্রে জটিল সংখ্যার সরাসরি উপস্থিতি অপরিসীম তাৎপর্যপূর্ণ। $i$-এর উপস্থিতির কারণে কোয়ান্টাম তরঙ্গ ফাংশনগুলো জটিল মানবিশিষ্ট হয়, যার ফলে তারা কেবল ছড়িয়ে পড়ে না বরং তরঙ্গের মতো উপরিপাতিত হয়ে ব্যতিচার (Interference) তৈরি করে।
  • $hbar = h / 2pi$ (কাট প্ল্যাঙ্ক ধ্রুবক): কোয়ান্টাম ক্রিয়ার মৌলিক ধ্রুবক ($১.০৫৪৫৭ times ১০^{-৩৪} text{ জুল}cdottext{সেকেন্ড}$)।
  • $psi(mathbf{r}, t)$ (তরঙ্গ অপেক্ষক): কোনো কোয়ান্টাম কণার সমস্ত তথ্যের ভাণ্ডার। ম্যাক্স বর্নের সম্ভাব্যতা ব্যাখ্যা অনুসারে (১৯২৬), এর মডুলাসের বর্গ $|psi(mathbf{r}, t)|^2$ নির্দেশ করে মহাকাশের কোনো বিন্দুতে কণাটিকে খুঁজে পাওয়ার পরম সম্ভাবনা ঘনত্ব।
  • $-frac{hbar^2}{2m}nabla^2$ (গতিশক্তি অপারেটর): কোয়ান্টাম ভরবেগ অপারেটর $hat{mathbf{p}} = -ihbar nabla$ থেকে উদ্ভূত।
  • $V(mathbf{r}, t)$ (বিভব শক্তি): পরমাণুর অভ্যন্তরে নিউক্লিয়াসের ধনাত্মক চার্জ দ্বারা ইলেকট্রনকে টেনে রাখার কুলম্বীয় আকর্ষণ বিভব।
  • $hat{H}$ (হ্যামিল্টোনিয়ান অপারেটর): কোয়ান্টাম ব্যবস্থার মোট শক্তির অপারেটর।

২. শক্তির কোয়ান্টায়ন কেন ঘটে?

পরমাণুর শক্তি কেন বিচ্ছিন্ন স্তরে কোয়ান্টায়িত হয়? চিরায়ত পদার্থবিদ্যায় কোনো ইলেকট্রন যেকোনো শক্তির মান নিতে পারত। শ্রোডিঙ্গার প্রমাণ করলেন কোয়ান্টায়ন কোনো আরোপিত নিয়ম নয়; এটি হলো স্থির তরঙ্গের স্বাভাবিক সীমানা শর্ত (Boundary Conditions)।

একটি গিটারের তার দুই প্রান্তে বাঁধা থাকলে যেমন কেবল নির্দিষ্ট সুর বা হারমোনিক্সে কাঁপতে পারে, ঠিক তেমনি নিউক্লিয়াসের আকর্ষণ কূপে বন্দি ইলেকট্রন তরঙ্গের বিস্তার অসীমে মিলিয়ে যেতে বাধ্য ($psi to 0$)। কেবল নির্দিষ্ট কিছু বিচ্ছিন্ন শক্তির মান ($E_n$) বসালেই এই ব্যবকলনীয় সমীকরণের সমাধান বাস্তবসম্মত থাকে:

$$E_n = -frac{13.6 text{ eV}}{n^2}, quad n = 1, 2, 3, dots$$

রসায়নের সমস্ত সমযোজী বন্ধন, পর্যায় সারণির মৌলগুলোর বিন্যাস এবং অণুর গঠন মূলত শ্রোডিঙ্গারের এই স্থির তরঙ্গগুলোর ত্রিমাত্রিক নোডাল আকৃতি ছাড়া আর কিছুই নয়।

Tagged with: #কোয়ান্টাম বলবিদ্যা #ক্যালকুলাস #গণিত #জ্ঞান বদলে দেওয়া সমীকরণসমূহ #তরঙ্গ বলবিদ্যা #পদার্থবিজ্ঞান #পরমাণুর গঠন #বাংলা বিজ্ঞান ব্লগ #বিজ্ঞান #বিজ্ঞানের ইতিহাস #শাকিল মাহমুদ সজল #শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণ
শাকিল মাহমুদ সজল

শাকিল মাহমুদ সজল

সফটওয়্যার প্রকৌশলী ও লেখক, ঢাকা, বাংলাদেশ। কম্পিউটার বিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, ইতিহাস ও ভাবনার সমন্বয়ে ব্যক্তিগত নোট ও প্রবন্ধ সংকলন।