১৯৭৩ সালে জ্যাকব বেকেনস্টাইন এবং স্টিফেন হকিং আবিষ্কার করেন যে ব্ল্যাক হোল একটি তাপগতীয় ব্যবস্থা যার তাপমাত্রা (T_H) এবং একটি বিশাল এন্ট্রপি রয়েছে যা তার ঘটনা দিগন্তের ক্ষেত্রফলের সমানুপাতিক: (S_{ ext{BH}} = rac{k_B A}{4 ll_P^2})। কিন্তু সাধারণ আপেক্ষিকতায় ব্ল্যাক হোল একটি মসৃণ শূন্যস্থান হওয়ায় এই এন্ট্রপির পেছনে ঠিক কোন কোয়ান্টাম মাইক্রোস্টেট দায়ী, তা দীর্ঘ দুই দশক ধরে রহস্য ছিল। ১৯৯৬ সালে অ্যান্ড্রু স্ট্রোমিঞ্জার এবং কামরুন ভাভা স্ট্রিং তত্ত্বে D-ব্রেন বাউন্ড স্টেট এবং কনফরমাল ফিল্ড তত্ত্বের কার্ডি ফর্মুলা প্রয়োগ করে প্রথম নীতি (First Principles) থেকে বেকেনস্টাইন-হকিং এন্ট্রপির নিখুঁত গাণিতিক প্রতিপাদন সম্পন্ন করেন।

১. ৫-মাত্রিক চরম ব্ল্যাক হোল ও ম্যাক্রোস্কোপিক এন্ট্রপি

টাইপ IIB সুপারস্ট্রিং তত্ত্বে (T^5)-এ কম্প্যাক্টকৃত ৫-মাত্রিক সুপারগ্র্যাভিটিতে তিনটি চার্জযুক্ত একটি চরম সুপারসিমেট্রিক (BPS) ব্ল্যাক হোল বিবেচনা করা যাক:

  • (Q_1): D1-ব্রেন চার্জ
  • (Q_5): D5-ব্রেন চার্জ
  • (N): বৃত্তাকার মাত্রায় ভরবেগ চার্জ (Kaluza-Klein momentum)

৫-মাত্রিক স্পেসটাইমে এর দিগন্ত ক্ষেত্রফল (A_H) হিসাব করে ম্যাক্রোস্কোপিক বেকেনস্টাইন-হকিং এন্ট্রপি পাওয়া যায়:

[
S_{ ext{BH}} = rac{A_H}{4 G_5} = 2pi sqrt{Q_1 Q_5 N}
]

২. দুর্বল কাপলিংয়ে D-ব্রেন মাইক্রোস্টেট ও সেন্ট্রাল চার্জ

দুর্বল স্ট্রিং কাপলিংয়ে মহাকর্ষীয় পতন দূর হয়ে যায় এবং ব্যবস্থাটিকে সমতল স্পেসটাইমে D1 ও D5 ব্রেনের বাউন্ড স্টেট হিসেবে দেখা যায়। এই ব্রেনসমূহের ইন্টারসেকশনে মুক্ত স্ট্রিংয়ের গতিবিধি একটি ২-মাত্রিক ((4,4)) সুপারকনফরমাল ফিল্ড থিওরি (SCFT) তৈরি করে। এর সেন্ট্রাল চার্জ:

[
c = 6 Q_1 Q_5
]

এবং বৃত্তাকার মাত্রায় ভরবেগ মোড (N) এই ফিল্ড তত্ত্বে ভিরাসোরো অপারেটর স্তর (L_0 = N) নির্দেশ করে।

৩. কার্ডি ফর্মুলা এবং নিখুঁত এন্ট্রপি মেলবন্ধন

২-মাত্রিক কনফরমাল ফিল্ড তত্ত্বে উচ্চ স্তরে কোয়ান্টাম অবস্থার ঘনত্ব (
ho(N)) নির্ণয়ের জন্য কার্ডি ফর্মুলা প্রয়োগ করা হয়:

[
d(N) approx xpleft( 2pi sqrt{rac{c cdot L_0}{6}}
ight) = xpleft( 2pi sqrt{rac{6 Q_1 Q_5 N}{6}}
ight) = xpleft( 2pi sqrt{Q_1 Q_5 N}
ight)
]

বোল্টজম্যানের পরিসংখ্যানিক এন্ট্রপি সমীকরণ (S_{ ext{micro}} = ln d(N)) গ্রহণ করলে:

[
S_{ ext{micro}} = 2pi sqrt{Q_1 Q_5 N} quiv S_{ ext{BH}}
]

কোনো প্রকার কৃত্রিম প্যারামিটার ছাড়াই কোয়ান্টাম অবস্থার পরিসংখ্যানগত লগারিদম এবং আইনস্টাইনের ক্লাসিক্যাল ক্ষেত্রফল সূত্রটির গুণক (1/4) হুবহু মিলে যায়। এটি প্রমাণ করে যে ব্ল্যাক হোল একটি ইউনিটারি কোয়ান্টাম মেকানিকাল সিস্টেম এবং কোয়ান্টাম তথ্য কখনো বিনষ্ট হয় না।

শাকিল মাহমুদ সজল

শাকিল মাহমুদ সজল

সফটওয়্যার প্রকৌশলী ও লেখক, ঢাকা, বাংলাদেশ। কম্পিউটার বিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, ইতিহাস ও ভাবনার সমন্বয়ে ব্যক্তিগত নোট ও প্রবন্ধ সংকলন।