গেরার্ড ‘ট হুফ্ট এবং লিওনার্ড সাসকাইন্ড কর্তৃক প্রস্তাবিত হলোগ্রাফিক নীতি (Holographic Principle) দাবি করে যে একটি নির্দিষ্ট স্থানিক আয়তনের মোট তথ্য ধারণক্ষমতা তার সীমানার ক্ষেত্রফলের (প্ল্যাঙ্ক এককে) সমানুপাতিক। AdS/CFT করেসপনডেন্সে এই তাত্ত্বিক দর্শনটি নিখুঁত গাণিতিক রূপ ধারণ করে। কিন্তু বাল্ক স্পেসটাইমে ক্লাসিক্যাল সুপারগ্র্যাভিটি অ্যাকশন হিসাব করতে গেলে সীমানার অসীম আয়তনের কারণে অপসারিতা (Divergence) সৃষ্টি হয়। এই সমস্যা সমাধানের পদ্ধতি হলো হলোগ্রাফিক রিনর্মালাইজেশন এবং ফেফারম্যান-গ্রাহাম মেট্রিক বিস্তার।

১. ফেফারম্যান-গ্রাহাম কোঅর্ডিনেট এবং এসিম্পটোটিক বিস্তার

যেকোনো এসিম্পটোটিক অ্যান্টি-ডি সিটার স্পেসটাইমকে তার সীমানার নিকটে ফেফারম্যান-গ্রাহাম স্থানাঙ্কে প্রকাশ করা যায়:

[
ds^2 = rac{L^2}{z^2} left( dz^2 + g_{mu
u}(x, z) dx^mu dx^
u
ight)
]

যেখানে (z = 0) হলো কনফরমাল সীমানা। (z o 0) সীমার দিকে মেট্রিক টেন্সরটিকে টেলর-ধারার মতো বিস্তার করা যায়:

[
g_{mu
u}(x, z) = g_{(0)mu
u} + z^2 g_{(2)mu
u} + z^4 g_{(4)mu
u} + dots + z^d g_{(d)mu
u} + dots
]

আইনস্টাইন ফিল্ড সমীকরণ সমাধান করে নিম্নতর পদসমূহ (যেমন (g_{(2)})) সম্পূর্ণভাবে সীমানা মেট্রিক (g_{(0)})-এর বক্রতা টেন্সরের মাধ্যমে নির্ধারিত হয়।

২. বাল্ক IR এবং বাউন্ডারি UV সংযোগ (UV/IR Connection)

বাল্কের অসীম আয়তনের জন্য যে ইনফ্রারেড (IR) ডাইভারজেন্স সৃষ্টি হয়, তা বাউন্ডারি ফিল্ড থিওরির হাই-এনার্জি আল্ট্রাভায়োলেট (UV) ডাইভারজেন্সের হুবহু প্রতিচ্ছবি। স্থানীয় বাউন্ডারি কাউন্টার-টার্ম ((S_{ ext{ct}})) বিয়োগ করে রিনর্মালাইজড অ্যাকশন নির্ণয় করা হয়:

[
S_{ ext{ren}} = lim_{psilon o 0} left[ S_{ ext{bulk}}[psilon] + S_{ ext{GH}}[psilon] + S_{ ext{ct}}[psilon]
ight]
]

৩. হলোগ্রাফিক স্ট্রেস-এনার্জি টেন্সর ও কনফরমাল অ্যানোমালি

রিনর্মালাইজড অ্যাকশনকে সীমানা মেট্রিকের সাপেক্ষে ব্যবকলন করে CFT-এর কোয়ান্টাম শক্তি-ভরবেগ টেন্সরের প্রত্যাশিত মান পাওয়া যায়:

[
langle T_{mu
u}
angle = rac{2}{sqrt{-g_{(0)}}} rac{delta S_{ ext{ren}}}{delta g_{(0)}^{mu
u}}
]

এর ট্রেস গ্রহণ করলে সরাসরি কোয়ান্টাম কনফরমাল ট্রেস অ্যানোমালি প্রতিপাদিত হয়, যা বিশুদ্ধ ক্লাসিক্যাল ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি থেকে কোয়ান্টাম ফিল্ড তত্ত্বের সেন্ট্রাল চার্জ ((c = a = N^2/4)) নিখুঁতভাবে নিশ্চিত করে।

শাকিল মাহমুদ সজল

শাকিল মাহমুদ সজল

সফটওয়্যার প্রকৌশলী ও লেখক, ঢাকা, বাংলাদেশ। কম্পিউটার বিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, ইতিহাস ও ভাবনার সমন্বয়ে ব্যক্তিগত নোট ও প্রবন্ধ সংকলন।