টপোলজিক্যাল স্ট্রিং থিওরি হলো তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞান এবং বিশুদ্ধ বীজগণিতীয় জ্যামিতির এক অভূতপূর্ব মেলবন্ধন। ২-মাত্রিক ওয়ার্ল্ডশিট তত্ত্বে টপোলজিক্যাল টুইস্টিং প্রয়োগ করে স্থানকালের জটিল কোয়ান্টাম ফ্লাকচুয়েশন বাদ দিয়ে বিশুদ্ধ টপোলজিক্যাল ইনভেরিয়েন্ট পৃথক করা হয়। এর ফলে দুটি পরিপূরক তত্ত্ব সৃষ্টি হয়: এ-মডেল (A-Model) যা সিম্প্লেকটিক জ্যামিতি ও ইনস্ট্যান্টন দ্বারা নিয়ন্ত্রিত এবং বি-মডেল (B-Model) যা জটিল কাঠামোর রূপান্তর দ্বারা নিয়ন্ত্রিত। এদের মধ্যকার সমতুল্যতাকে মিরর সিমেট্রি (Mirror Symmetry) বলা হয়, যা গণিতবিদদের বহু শতকের অমীমাংসিত বক্ররেখা গণনার সমস্যা মুহূর্তের মধ্যে সমাধান করে।

১. এ-মডেল ও গ্রোমভ-উইটেন ইনভেরিয়েন্ট

এ-মডেলে হলোমর্ফিক ওয়ার্ল্ডশিট ইনস্ট্যান্টনগুলো মুক্ত শক্তির পার্টিশন ফাংশনে অবদান রাখে:

[
mathcal{F}_g^A(t) = sum_beta N_{g, beta} q^beta
]

যেখানে (N_{g, beta}) হলো গ্রোমভ-উইটেন ইনভেরিয়েন্ট—যা একটি ক্যালাবি-ইয়াউ ম্যানিফোল্ডের নির্দিষ্ট মাত্রার হলোমর্ফিক বক্ররেখার ভার্চুয়াল সংখ্যা গণনা করে।

২. ক্যানডেলাসের সমাধান ও ঐতিহাসিক সাফল্য

১৯৯১ সালে ফিলিপ ক্যানডেলাস এবং তাঁর সহযোগীরা মিরর সিমেট্রি ব্যবহার করে কুইন্টিক থ্রি-ফোল্ডের সকল ডিগ্রির বক্ররেখার সংখ্যা একযোগে নির্ণয় করেন। বি-মডেল ম্যানিফোল্ডে কোনো কোয়ান্টাম ইনস্ট্যান্টন কারেকশন থাকে না, ফলে পিকার্ড-ফুকস ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করে তারা ডিগ্রি-৩ এর জন্য ৩১৭,২০৬,৩৭৫ টি কিউবিক বক্ররেখা হিসাব করেন—যা গণিতবিদদের পূর্ববর্তী গণনার ভুল সংশোধন করে গণিত বিশ্বে আলোড়ন সৃষ্টি করে।

৩. হোমোলজিক্যাল মিরর সিমেট্রি ও BCOV অ্যানোমালি

১৯৯৪ সালে ম্যাক্সিম কন্সেভিচ মিরর সিমেট্রিকে ফুকায়া ক্যাটাগরি এবং কোহেরেন্ট শিভ ক্যাটাগরির মধ্যে সমতুল্যতা হিসেবে প্রস্তাব করেন। পাশাপাশি বারশাদস্কি, সিকোত্তি, ওগুরি এবং ভাভা (BCOV) উচ্চতর জেনাসে মুক্ত শক্তির জন্য হলোমর্ফিক অ্যানোমালি সমীকরণ প্রতিষ্ঠা করেন, যা কোয়ান্টাম স্ট্রিং তত্ত্বের নির্ভুলতা উন্মোচন করে।

শাকিল মাহমুদ সজল

শাকিল মাহমুদ সজল

সফটওয়্যার প্রকৌশলী ও লেখক, ঢাকা, বাংলাদেশ। কম্পিউটার বিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, ইতিহাস ও ভাবনার সমন্বয়ে ব্যক্তিগত নোট ও প্রবন্ধ সংকলন।