সুপারস্ট্রিং তত্ত্বে কোয়ান্টাম সমঞ্জসতা ও অ্যানোমালি বাতিলকরণ ঠিক ১০টি স্পেসটাইম মাত্রায় অর্জিত হয়। আমাদের দৃশ্যমান চার মাত্রিক মহাবিশ্বকে বর্ণনা করতে হলে অবশিষ্টাংশ ৬টি স্থানিক মাত্রাকে একটি অন্তর্নিহিত ক্ষুদ্র কম্প্যাক্ট স্থান (X_6)-এ গুটিয়ে বা কম্প্যাক্ট করতে হয়। এই অভ্যন্তরীণ ম্যানিফোল্ডের জ্যামিতি এবং টপোলজিই ৪-মাত্রিক পদার্থবিজ্ঞানের মৌলিক নিয়মসমূহ নির্ধারণ করে: গেজ গ্রুপ, কাইরাল ফার্মিয়ন পরিবার, ইউকাওয়া কাপলিং এবং মহাজাগতিক ধ্রুবক। এই পর্বে আমরা ক্যালাবি-ইয়াউ কম্প্যাক্টিফিকেশন, (SU(3)) হোলোনমি, হজ ডায়মন্ড টপোলজি এবং বিখ্যাত KKLT মডুলাই স্ট্যাবিলাইজেশন মেকানিজম বিশ্লেষণ করব।
১. (mathcal{N}=1) সুপারসিমেট্রি এবং (SU(3)) হোলোনমি
একটি বাস্তবসম্মত চার মাত্রিক কার্যকর ফিল্ড তত্ত্বে নিম্ন-শক্তি সুপারসিমেট্রি ((mathcal{N}=1)) বজায় রাখতে, ১০-মাত্রিক স্পেসটাইমকে নিমোক্ত ডাইরেক্ট প্রোডাক্টে ভাগ করা হয়:
[
mathcal{M}_{10} = mathcal{M}_{1,3} imes X_6
]
যেখানে (mathcal{M}_{1,3}) হলো ৪-মাত্রিক মিনকোভস্কি স্পেসটাইম এবং (X_6) হলো ৬-মাত্রিক রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ড। ফ্লাক্সবিহীন অবস্থায় গ্র্যাভিটিনোর সুপারসিমেট্রি রূপান্তর শূন্য হতে হলে (X_6)-এ একটি গ্লোবালি কোভেরিয়েন্টলি কনস্ট্যান্ট স্পিনরের উপস্থিতি আবশ্যক:
[
abla_m ta = 0 quad (m = 1, dots, 6)
]
একটি সাধারণ ৬-মাত্রিক রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডের হোলোনমি গ্রুপ হলো (SO(6) cong SU(4))। কিন্তু একটি কোভেরিয়েন্টলি কনস্ট্যান্ট স্পিনরের অস্তিত্বের কারণে এর রেস্ট্রিক্টেড হোলোনমি গ্রুপ অবশ্যই (SU(3))-এ সীমাবদ্ধ হতে হবে:
[
ext{Hol}(g) subseteq SU(3)
]
২. ক্যালাবি-ইয়াউ ম্যানিফোল্ড ও ইয়াউ-এর উপপাদ্য
(SU(3)) হোলোনমি বিশিষ্ট ৬-মাত্রিক কম্প্যাক্ট ম্যানিফোল্ডকে ক্যালাবি-ইয়াউ থ্রি-ফোল্ড ((CY_3)) বলা হয়। ১৯৭৮ সালে শিং-টুং ইয়াউ ক্যালাবির অনুমান প্রমাণ করেন: শূন্য প্রথম চার্ন ক্লাস ((c_1(X) = 0)) বিশিষ্ট যেকোনো কম্প্যাক্ট ক্যাহলার ম্যানিফোল্ডে একটি অনন্য রিকি-ফ্ল্যাট ক্যাহলার মেট্রিক বিদ্যমান:
[
R_{mbar{n}} = partial_m partial_{bar{n}} ln det(g) = 0
]
পাশাপাশি এতে একটি সর্বত্র শূন্যহীন হলোমর্ফিক ((3,0))-ফর্ম (Omega) বিদ্যমান যা (dOmega = 0) মেনে চলে।
৩. হজ ডায়মন্ড ও মডুলাই সমস্যা
ক্যালাবি-ইয়াউ ম্যানিফোল্ডের জ্যামিতিক বিকৃতি ৪-মাত্রিক তত্ত্বে ভরহীন স্কেলার ক্ষেত্র হিসেবে আবির্ভূত হয়, যাদের মডুলাই (Moduli) বলা হয়:
- ক্যাহলার মডুলাই ((h^{1,1})): সাব-সাইকেলসমূহের আকার ও আয়তনের বিকৃতি।
- কমপ্লেক্স স্ট্রাকচার মডুলাই ((h^{2,1})): ম্যানিফোল্ডের আকৃতি ও কোণের বিকৃতি।
ভরহীন স্কেলার ক্ষেত্রসমূহ প্রকৃতিতে অগ্রহণযোগ্য কারণ তারা সমতুল্যতা নীতি ভঙ্গকারী পঞ্চম মৌলিক বলের সৃষ্টি করবে। তাই ফ্লাক্স কম্প্যাক্টিফিকেশন ও নন-পারটারবেটিভ প্রক্রিয়ার মাধ্যমে এই মডুলাই ক্ষেত্রসমূহে ভর সঞ্চার করা অপরিহার্য।
৪. KKLT মেকানিজম: মেটাস্টেবল ডি সিটার মহাবিশ্ব
২০০৩ সালে কাচরু, কাল্লোশ, লিন্ডে এবং ত্রিবেদী (KKLT) স্ট্রিং তত্ত্বে ডার্ক এনার্জি বা ধনাত্মক মহাজাগতিক ধ্রুবক অর্জনের তিন-ধাপ বিশিষ্ট সমাধান উপস্থাপন করেন:
- ফ্লাক্স দ্বারা স্ট্রাকচার মডুলাই স্থিতিশীলকরণ: ৩-ফর্মে ব্যাকগ্রাউন্ড ফ্লাক্স প্রয়োগ করে (W_0 = langle W_{ ext{flux}}
angle) নির্ধারণ করা হয়। - নন-পারটারবেটিভ ক্যাহলার স্থিতিশীলকরণ: ইউক্লিডীয় D3-ব্রেন তাৎক্ষণিক ক্রিয়া বা D7-ব্রেনে গজিনো ঘনীভবনের ফলে একটি নেতিবাচক ন্যূনতম শক্তি বিশিষ্ট অ্যান্টি-ডি সিটার (AdS) শূন্যতা তৈরি হয়:
[
W(T) = W_0 + A e^{-a T}
] - অ্যান্টি-D3 ব্রেন দ্বারা আপলিফটিং: বিকৃত কনিফোল্ডের প্রান্তে (overline{ ext{D3}})-ব্রেন স্থাপন করে একটি পজিটিভ সুপারসিমেট্রি-ব্রেকিং এনার্জি যোগ করা হয়, যা ঋণাত্মক AdS শূন্যতাকে উন্নীত করে আমাদের পর্যবেক্ষণযোগ্য মহাজাগতিক ত্বরণের সাথে সংগতিপূর্ণ মেটাস্টেবল ডি সিটার (dS) শূন্যতায় রূপান্তর করে।
