যখন প্লাজমার আচরণ সাধারণ ম্যাক্রোস্কোপিক ফ্লুইড মডেল অতিক্রম করে কণা ও তরঙ্গের রেজোন্যান্স কিংবা সংঘর্ষহীন ক্ষয়ের মতো সূক্ষ্ম ঘটনার সম্মুখীন হয়, তখন কেবল ফ্লুইড সমীকরণ যথেষ্ট থাকে না। তখন আমাদের প্রবেশ করতে হয় অবস্থান ও বেগের ছয়-মাত্রিক ফেজ স্পেসে ((mathbf{r}, mathbf{v})), যার গাণিতিক ভিত্তি হলো কাইনেটিক বা গতিবিদ্যা তত্ত্ব (Kinetic Theory)। এই পর্বে আমরা ক্লিমন্টভিচ অণুবীক্ষণিক সমীকরণ থেকে ভ্লাসভ-ম্যাক্সওয়েল সিস্টেম (Vlasov-Maxwell System) প্রতিপাদন করব এবং দেখব কীভাবে লিউভিল উপপাদ্যের অধীনে ফেজ স্পেসে কণার প্রবাহ সম্পূর্ণ অসংকোচনশীল থাকে।
১. ক্লিমন্টভিচ বণ্টন ও অণুবীক্ষণিক সমীকরণ
ধরা যাক, একটি প্লাজমায় (N) সংখ্যক কণা রয়েছে যার ভর (m_s) এবং চার্জ (q_s)। ছয়-মাত্রিক ফেজ স্পেসে এদের নিখুঁত বিন্দু বণ্টনকে ক্লিমন্টভিচ ডিস্ট্রিবিউশন দ্বারা প্রকাশ করা হয়:
[
N_s(mathbf{r}, mathbf{v}, t) = sum_{i=1}^N delta(mathbf{r} – mathbf{r}_i(t)) , delta(mathbf{v} – mathbf{v}_i(t))
]
যেহেতু কণার মোট সংখ্যা অপরিবর্তনীয়, তাই এটি ফেজ স্পেস অবিচ্ছিন্নতা সমীকরণ মেনে চলে:
[
rac{partial N_s}{partial t} + mathbf{v} cdot
abla_mathbf{r} N_s + rac{q_s}{m_s}left( mathbf{E}^m + mathbf{v} imes mathbf{B}^m
ight) cdot
abla_mathbf{v} N_s = 0
]
এখানে (mathbf{E}^m) ও (mathbf{B}^m) হলো কণাগুলোর অত্যন্ত দ্রুত ওঠানামা করা অণুবীক্ষণিক তড়িৎ ও চৌম্বক ক্ষেত্র।
২. অঁসম্বল গড় ও ভ্লাসভ সমীকরণ (Vlasov Equation)
দেবী দূরত্বের চেয়ে ছোট স্কেলের দ্রুত অস্থিরতা দূর করার জন্য আমরা সমীকরণটির ওপর একটি পরিসংখ্যানিক গড় ((langle cdot
angle)) প্রয়োগ করি। প্রতিটি চলককে একটি মসৃণ গড় মান এবং একটি ক্ষুদ্র বিচ্যুতির যোগফল হিসেবে লেখা হয়:
[
N_s = f_s(mathbf{r}, mathbf{v}, t) + delta N_s, quad mathbf{E}^m = mathbf{E} + delta mathbf{E}, quad mathbf{B}^m = mathbf{B} + delta mathbf{B}
]
যেখানে (f_s(mathbf{r}, mathbf{v}, t)) হলো মসৃণ একক-কণা ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন। গড় প্রয়োগের পর সমীকরণটি দাঁড়ায়:
[
rac{partial f_s}{partial t} + mathbf{v} cdot
abla_mathbf{r} f_s + rac{q_s}{m_s}left( mathbf{E} + mathbf{v} imes mathbf{B}
ight) cdot
abla_mathbf{v} f_s = -rac{q_s}{m_s} leftlangle (delta mathbf{E} + mathbf{v} imes delta mathbf{B}) cdot
abla_mathbf{v} delta N_s
ight
angle
]
ডানপাশের অংশটি হলো সংঘর্ষ ইন্টিগ্রাল (Collision Integral)। সংঘর্ষহীন প্লাজমায় ((N_D gg 1)) পৃথক কণার কুলম্ব সংঘর্ষের প্রভাব (mathcal{O}(1/N_D)) হারে উপেক্ষণীয়। ফলে সংঘর্ষ পদটি শূন্য ধরে পাওয়া যায় বিখ্যাত ভ্লাসভ সমীকরণ (Vlasov Equation):
[
rac{d f_s}{dt} = rac{partial f_s}{partial t} + mathbf{v} cdot rac{partial f_s}{partial mathbf{r}} + rac{q_s}{m_s} left( mathbf{E} + mathbf{v} imes mathbf{B}
ight) cdot rac{partial f_s}{partial mathbf{v}} = 0
]
৩. ম্যাক্সওয়েল সমীকরণ এবং স্ব-সামঞ্জস্যপূর্ণ কাপলিং
ম্যাক্রোস্কোপিক তড়িৎ ও চৌম্বক ক্ষেত্র কোনো বহিঃস্থ স্থির রাশি নয়; বরং ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনের ইন্টিগ্রেশনের মাধ্যমে কণাগুলো নিজেরাই এই ক্ষেত্র উৎপন্ন করে:
[
ho(mathbf{r}, t) = sum_s q_s int f_s(mathbf{r}, mathbf{v}, t) , d^3v, quad mathbf{J}(mathbf{r}, t) = sum_s q_s int mathbf{v} f_s(mathbf{r}, mathbf{v}, t) , d^3v
]
এই চার্জ ও তড়িৎ প্রবাহ ম্যাক্সওয়েল সমীকরণে সোর্স টার্ম হিসেবে যুক্ত হয়:
[
abla cdot mathbf{E} = rac{
ho}{arepsilon_0}, quad
abla imes mathbf{E} = -rac{partial mathbf{B}}{partial t}
]
[
abla cdot mathbf{B} = 0, quad
abla imes mathbf{B} = mu_0 mathbf{J} + mu_0 arepsilon_0 rac{partial mathbf{E}}{partial t}
]
ভ্লাসভ ও ম্যাক্সওয়েল সমীকরণমালার এই যুগ্ম সমাবেশকে ভ্লাসভ-ম্যাক্সওয়েল সিস্টেম বলা হয়। যেহেতু (df_s/dt = 0), তাই লিউভিল উপপাদ্য অনুযায়ী ৬-মাত্রিক ফেজ স্পেসে প্লাজমার কণাঘনত্ব একটি অসংকোচনশীল প্রবাহীর মতো প্রবাহিত হয়।
