একটি সুষম ও শীতল প্লাজমার অভ্যন্তরে স্থির ভারী আয়নগুলোর তুলনায় ইলেকট্রন গ্যাসকে সামান্য স্থানচ্যুত ((delta x)) করা হলে তাদের ওপর তাৎক্ষণিকভাবে একটি প্রবল স্থির-তড়িৎ প্রত্যয়নী বল ক্রিয়া করে। এই প্রত্যয়নী বলের প্রভাবে ইলেকট্রনসমূহ তাদের মূল সাম্যাবস্থার চতুর্দিকে সম্মিলিতভাবে এক বিশেষ কম্পাঙ্কে দুলতে থাকে, যাকে বলা হয় ইলেকট্রন প্লাজমা ফ্রিকোয়েন্সি ((omega_{pe}))। এই পর্বে আমরা শীতল প্লাজমার ল্যাংমুইর স্পন্দন প্রতিপাদন করব এবং তাপীয় গতির প্রভাবে উষ্ণ প্লাজমার জন্য বিখ্যাত বোহম-গ্রস ডিসপার্সন সমীকরণ প্রতিষ্ঠা করব।

১. ল্যাংমুইর স্পন্দনের গাণিতিক প্রতিপাদন (Cold Plasma Oscillations)

ধরা যাক, একটি শীতল ((T_e = 0)) প্লাজমায় ভারী আয়নগুলোর ঘনত্ব (n_0) স্থির রয়েছে। এক-মাত্রিক ক্ষেত্রে ক্ষুদ্র বিচ্যুতির ফলে ইলেকট্রন ঘনত্ব (n(x,t) = n_0 + n_1(x,t)), ইলেকট্রন বেগ (v(x,t) = v_1(x,t)) এবং তড়িৎক্ষেত্র (E(x,t) = E_1(x,t))।

সিস্টেমটি অবিচ্ছিন্নতা সমীকরণ (Continuity Equation), ভরবেগ সমীকরণ (Momentum Equation) এবং গাউসের সূত্র দ্বারা পরিচালিত:

[
rac{partial n_1}{partial t} + n_0 rac{partial v_1}{partial x} = 0
]
[
m_e rac{partial v_1}{partial t} = -e E_1
]
[
rac{partial E_1}{partial x} = -rac{e}{arepsilon_0} n_1
]

অবিচ্ছিন্নতা সমীকরণকে সময়ের সাপেক্ষে ব্যবকলন করে এবং ভরবেগ ও গাউসের সমীকরণ প্রতিস্থাপন করে পাওয়া যায়:

[
rac{partial^2 n_1}{partial t^2} + n_0 rac{partial}{partial x}left(-rac{e}{m_e} E_1
ight) = 0 quad implies quad rac{partial^2 n_1}{partial t^2} + left(rac{n_0 e^2}{arepsilon_0 m_e}
ight) n_1 = 0
]

এটি একটি সরল ছন্দিত স্পন্দকের (Simple Harmonic Oscillator) অবকল সমীকরণ, যার স্বাভাবিক কৌণিক কম্পাঙ্ক হলো ইলেকট্রন প্লাজমা কম্পাঙ্ক:

[
omega_{pe} quiv sqrt{rac{n_0 e^2}{arepsilon_0 m_e}}
]

শীতল প্লাজমায় কম্পাঙ্ক তরঙ্গের তরঙ্গদৈর্ঘ্য বা তরঙ্গসংখ্যার ((k)) ওপর নির্ভর করে না। ফলে এর গ্রুপ বেগ (v_g = rac{domega}{dk} = 0)। অর্থাৎ শীতল অবস্থায় ল্যাংমুইর তরঙ্গ মহাকাশের মধ্য দিয়ে তথ্য বা শক্তি পরিবহন করে না; এটি একটি স্থানিক স্থির স্পন্দন।

২. উষ্ণ প্লাজমা ও বোহম-গ্রস ডিসপার্সন সমীকরণ (Bohm-Gross Relation)

বাস্তব প্লাজমায় ইলেকট্রনের সসীম তাপমাত্রা ((T_e > 0)) থাকায় একটি তাপীয় চাপ গ্রেডিয়েন্ট (
abla P_e = 3 k_B T_e
abla n_1) ক্রিয়া করে (যেখানে উচ্চ কম্পাঙ্কের এক-মাত্রিক সংকোচনের জন্য রুদ্ধতাপীয় সূচক (gamma = 3))। ফলে রৈখিকীকৃত ভরবেগ সমীকরণ দাঁড়ায়:

[
m_e n_0 rac{partial v_1}{partial t} = -e n_0 E_1 – 3 k_B T_e rac{partial n_1}{partial x}
]

সমতল তরঙ্গের সমাধান (xp(i(kx – omega t))) ধরে সমীকরণগুলো সমাধান করলে পাওয়া যায় ঐতিহাসিক বোহম-গ্রস ডিসপার্সন সম্পর্ক (Bohm-Gross Dispersion Relation):

[
omega^2 = omega_{pe}^2 + rac{3 k_B T_e}{m_e} k^2 = omega_{pe}^2 + 3 k^2 v_{th}^2
]

যেখানে (v_{th} quiv sqrt{k_B T_e / m_e}) হলো ইলেকট্রনের তাপীয় বেগ। এই সমীকরণ নির্দেশ করে যে উষ্ণ প্লাজমায় স্থির-তড়িৎ তরঙ্গ শূন্যের চেয়ে বেশি গ্রুপ বেগে অগ্রসর হয়:

[
v_{phi} = rac{omega}{k}, quad v_g = rac{domega}{dk} = rac{3 k v_{th}^2}{omega} = 3 rac{v_{th}^2}{v_{phi}}
]

তরঙ্গদৈর্ঘ্য যখন দেবী দৈর্ঘ্যের কাছাকাছি পৌঁছায় ((k lambda_D o 1)), তখন তরঙ্গটি ল্যান্ডাউ ড্যাম্পিং প্রক্রিয়ায় শক্তি ক্ষয়ের মুখোমুখি হয়।

শাকিল মাহমুদ সজল

শাকিল মাহমুদ সজল

সফটওয়্যার প্রকৌশলী ও লেখক, ঢাকা, বাংলাদেশ। কম্পিউটার বিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, ইতিহাস ও ভাবনার সমন্বয়ে ব্যক্তিগত নোট ও প্রবন্ধ সংকলন।