দশ কোটি ডিগ্রির বেশি তাপমাত্রার ফিউশন প্লাজমাকে কোনো পাত্রের দেয়ালে স্পর্শ না করিয়ে শূন্যে ভাসিয়ে রাখতে আবদ্ধ চৌম্বক ক্ষেত্র প্রয়োজন। টোকামাকের মতো অক্ষ-প্রতিসম টোরয়েডাল চেম্বারে প্লাজমার তাপীয় চাপ এবং তড়িৎ-চৌম্বকীয় লরেন্টজ বলের নিখুঁত সাম্যাবস্থা নির্ধারণ করে আধুনিক প্লাজমা পদার্থবিজ্ঞানের এক বিখ্যাত সমীকরণ। এই পর্বে আমরা প্রথম নীতি থেকে প্রতিপাদন করব গ্র্যাড-শাফরানভ সমীকরণ (Grad-Shafranov Equation) এবং বিশ্লেষণ করব টোরয়েডাল ফিউশন যন্ত্রের চৌম্বক সাম্যাবস্থা।

১. ম্যাগনেটোস্ট্যাটিক সাম্যাবস্থা শর্ত

স্থির প্লাজমার ভরবেগ সংরক্ষণ সমীকরণ থেকে বলের সাম্যাবস্থা পাওয়া যায়:

[

abla P = mathbf{J} imes mathbf{B}
]

যেখানে (mathbf{B} cdot
abla P = 0) এবং (mathbf{J} cdot
abla P = 0)। অর্থাৎ চৌম্বক বলরেখা এবং তড়িৎ প্রবাহরেখা উভয়ই সমচাপযুক্ত পৃষ্ঠতলের (Magnetic Flux Surface) ওপর অবস্থান করে।

২. গ্র্যাড-শাফরানভ সমীকরণের পুঙ্খানুপুঙ্খ প্রতিপাদন

সিলিন্ড্রিক্যাল স্থানাঙ্কে ((R, phi, Z)) অক্ষ-প্রতিসাম্যের কারণে ((partial_phi = 0)), চৌম্বক ক্ষেত্রের পোলয়েডাল অংশকে একটি স্কেলার পোলয়েডাল ফ্লাক্স ফাংশন (psi(R, Z))-এর মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়:

[
mathbf{B}_p = rac{1}{R}
abla psi imes hat{boldsymbol{phi}} = -rac{1}{R}rac{partial psi}{partial Z} hat{mathbf{R}} + rac{1}{R}rac{partial psi}{partial R} hat{mathbf{Z}}
]

মোট চৌম্বক ক্ষেত্র (mathbf{B} = mathbf{B}_p + rac{F}{R} hat{boldsymbol{phi}})। অ্যাম্পিয়ারের সূত্র প্রয়োগ করে টোরয়েডাল কারেন্ট ডেনসিটি পাওয়া যায়:

[
J_phi = -rac{1}{mu_0 R} Delta^* psi
]

যেখানে (Delta^*) হলো উপবৃত্তাকার শাফরানভ ডিফারেনশিয়াল অপারেটর:

[
Delta^* psi quiv R rac{partial}{partial R}left( rac{1}{R} rac{partial psi}{partial R}
ight) + rac{partial^2 psi}{partial Z^2}
]

(mathbf{J} imes mathbf{B} =
abla P) সমীকরণে মানগুলো প্রতিস্থাপন করলে প্রতিষ্ঠা পায় বিখ্যাত গ্র্যাড-শাফরানভ সমীকরণ:

[
Delta^* psi = -mu_0 R^2 rac{dP}{dpsi} – F rac{dF}{dpsi}
]

এই অশূন্য অ-রৈখিক অবকল সমীকরণ সমাধান করে টোকামাকের চৌম্বক ফ্লাক্স পৃষ্ঠের নিখুঁত জ্যামিতিক নকশা তৈরি করা হয়।

৩. সেফটি ফ্যাক্টর (Safety Factor – q)

কেবল বৃত্তাকার টোরয়েডাল ফিল্ড দিয়ে প্লাজমা আটকে রাখা যায় না, কারণ গ্র্যাড-বি ড্রিফ্ট ও বক্রতা ড্রিফ্টের কারণে আয়ন ও ইলেকট্রন বিপরীত দিকে সরে গিয়ে উলম্ব তড়িৎক্ষেত্র তৈরি করে, যা প্লাজমাকে বাইরের দিকে ছুঁড়ে ফেলে। এটি প্রতিরোধ করতে বলরেখাকে স্প্রিংয়ের মতো পেঁচিয়ে হেলিকাল রূপ দেওয়া হয়। এই প্যাঁচের পরিমাপক হলো সেফটি ফ্যাক্টর (q):

[
q(r) approx rac{r B_phi}{R_0 B_ heta}
]

প্লাজমার স্থায়িত্ব বজায় রাখতে ক্রুশকাল-শাফরানভ সীমা অনুযায়ী প্রান্তসীমায় (q(a) > 2) হওয়া আবশ্যক।

শাকিল মাহমুদ সজল

শাকিল মাহমুদ সজল

সফটওয়্যার প্রকৌশলী ও লেখক, ঢাকা, বাংলাদেশ। কম্পিউটার বিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, ইতিহাস ও ভাবনার সমন্বয়ে ব্যক্তিগত নোট ও প্রবন্ধ সংকলন।